ما هي حاسبة طرح الأرقام الثنائية؟
تقوم هذه الأداة بطرح عدد ثنائي (بنظام الأساس 2) من عدد ثنائي آخر، وتعرض الناتج بالنظامين الثنائي والعشري معًا. يعتمد النظام الثنائي على الرقمين 0 و1 فقط، حيث تمثّل كل خانة قوة من قوى العدد اثنين. أما طرح الأعداد الثنائية يدويًا فيتطلب عملية «الاستلاف» عبر الأعمدة، وهي خطوة معرّضة للخطأ — لكن هذه الحاسبة تنجزها فورًا وتتحقق من صحة النتيجة عبر مقارنتها بالحساب العشري.
طريقة الاستخدام
أدخل العدد الثنائي الأول (المطروح منه) ثم العدد الثنائي الثاني (المطروح)، مستخدمًا الرقمين 0 و1 فقط. اضغط على زر الحساب لتظهر لك قيمة الفرق بالنظام الثنائي، إلى جانب القيمة العشرية لكل من المُدخلين وللناتج. وإذا كان العدد الثاني أكبر من الأول، يُعرض الناتج كقيمة ثنائية سالبة (تسبقها إشارة ناقص).
شرح المعادلة
أبسط الطرق وأكثرها موثوقية هي تحويل كل سلسلة ثنائية إلى عدد عشري صحيح، ثم إجراء عملية الطرح الاعتيادية، وبعدها تحويل الفرق مرة أخرى إلى النظام الثنائي:
$$\text{الناتج} = \text{تحويل\_إلى\_ثنائي}\left( \text{تحويل\_من\_ثنائي}(\text{أ}) - \text{تحويل\_من\_ثنائي}(\text{ب}) \right)$$على سبيل المثال، العدد الثنائي 1010 يساوي \(1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 10\) بالنظام العشري. وبهذه الطريقة نتجنّب عملية الاستلاف اليدوية مع الحصول على نتائج مطابقة تمامًا.
مثال محلول
لنطرح 11 من 1010. أولًا نحوّل: \(1010_2 = 10_{10}\) و\(11_2 = 3_{10}\). ثم \(10 - 3 = 7\). وبتحويل العدد 7 إلى النظام الثنائي نحصل على \(111_2\). إذن \(1010 - 11 =\) 111.
كيفية طرح الأعداد الثنائية يدويًا (طريقة الاستعارة)
الطرح الثنائي المباشر يعمل تمامًا مثل الطرح العشري، لكن في الأساس 2 تحتوي كل عمود على 0 أو 1 فقط. الفكرة الأساسية هي الاستعارة: عندما تضطر إلى طرح 1 من 0، تستعير من العمود التالي إلى اليسار، مما يحول العمود الحالي إلى \(10_2\) (وهو 2 بالنظام العشري)، إذن \(10_2 - 1_2 = 1_2\).
- محاذاة الأرقام على اليمين. اكتب القيمة الأكبر (المطروح منه) في الأعلى والقيمة الأصغر (المطروح) تحتها، مع محاذاة البتات الأقل أهمية. أضف أصفارًا رائدة للرقم الأقصر بحيث يكون لكلاهما نفس العرض.
- اعمل من اليمين إلى اليسار، عمود واحد في كل مرة. في كل عمود احسب البت الأعلى ناقص البت الأسفل.
- طبق قواعد العمود: \(0-0=0\), \(1-0=1\), \(1-1=0\), و\(0-1\) يحتاج استعارة.
- قاعدة الاستعارة: بالنسبة لـ \(0-1\)، استعر 1 من العمود التالي إلى اليسار. يصبح العمود الحالي \(10_2 - 1 = 1\)، وتقلل العمود الذي تم الاستعارة منه بمقدار 1 (إذا كان هذا العمود نفسه 0، يجب عليك الاستعارة مرة أخرى، متسلسلاً نحو اليسار).
- اقرأ النتيجة من الصف السفلي، محذوفًا أي أصفار رائدة.
مثال محلول: \(1010_2 - 0011_2\). كلاهما مملوء إلى أربعة بتات. فحص عشري: \(10 - 3\).
- العمود 0 (الأيمن الأقصى): الأعلى 0، الأسفل 1 → \(0-1\) يحتاج استعارة. استعر من العمود 1، مما يعطي \(10_2 - 1 = 1\). بت النتيجة = 1. ينخفض البت الأعلى للعمود 1 من 1 إلى 0.
- العمود 1: بعد الإقراض، الأعلى هو 0، الأسفل هو 1 → \(0-1\) يحتاج استعارة. استعر من العمود 2، مما يعطي \(10_2 - 1 = 1\). بت النتيجة = 1. البت الأعلى للعمود 2 ينخفض من 0... إنه 0، لذا تتسلسل الاستعارة إلى العمود 3، مما يجعل العمود 2 يقرأ \(10_2\) ثم يقرض 1 ليترك 1.
- العمود 2: بعد الاستعارة المتسلسلة يحتوي على 1، الأسفل هو 0 → \(1-0=0\). بت النتيجة = 0.
- العمود 3: كان الأعلى 1، لكنه أقرض 1 للعمود 2، تاركًا 0؛ الأسفل هو 0 → \(0-0=0\). بت النتيجة = 0.
قراءة من الأسفل إلى الأعلى حسب العمود تعطي \(0111_2\)، أي 111\(_2\)، وهو يساوي \(7\) بالنظام العشري — يطابق \(10 - 3 = 7\).
أمثلة محلولة إضافية
يعرض كل مثال طرح الأعداد الثنائية ومكافئها العشري بحيث يمكنك التحقق من الحسابات.
| طرح ثنائي | فحص عشري | النتيجة (ثنائية) | النتيجة (عشرية) |
|---|---|---|---|
| \(1101_2 - 101_2\) | \(13 - 5\) | 1000\(_2\) | 8 |
| \(11_2 - 1010_2\) | \(3 - 10\) | \(-111_2\) | \(-7\) |
| \(110_2 - 110_2\) | \(6 - 6\) | \(0_2\) | 0 |
المثال 1 — \(1101_2 - 101_2\). أضف المطروح إلى \(0101_2\). عمود بعد عمود من اليمين: \(1-1=0\); \(0-0=0\); \(1-1=0\); \(1-0=1\). يعطي \(1000_2 = 8\)، مؤكدًا \(13 - 5 = 8\).
المثال 2 — \(11_2 - 1010_2\) (نتيجة سالبة). هنا المطروح (\(10\)) أكبر من المطروح منه (\(3\))، لذا الإجابة سالبة. بدّل واطرح الأصغر من الأكبر: \(1010_2 - 0011_2 = 0111_2 = 7\)، ثم أرجع الإشارة للحصول على \(-111_2 = -7\). يطابق \(3 - 10 = -7\).
المثال 3 — \(110_2 - 110_2\) (قيم متساوية). كل عمود يطرح إلى 0 دون استعارات: \(0-0\), \(1-1\), \(1-1\) كلها تعطي 0، لذا الفرق هو \(0_2 = 0\).
المصطلحات الأساسية
- المطروح منه
- الرقم الذي يتم الطرح منه — القيمة المكتوبة في الأعلى. في \(1010_2 - 11_2\)، المطروح منه هو \(1010_2\).
- المطروح
- الرقم المطروح — القيمة المكتوبة تحتها. في \(1010_2 - 11_2\)، المطروح هو \(11_2\).
- الفرق
- نتيجة الطرح: \(\text{المطروح منه} - \text{المطروح}\).
- الاستعارة
- عندما يتطلب عمود \(0-1\)، يتم أخذ 1 من العمود التالي الأعلى بحيث يصبح العمود الحالي \(10_2\) (القيمة 2)، مما يسمح بـ \(10_2 - 1 = 1\). ينخفض العمود المستعار منه بمقدار 1، وقد تتسلسل الاستعارة أكثر إلى اليسار إذا كان هذا العمود أيضًا 0.
- الأساس 2 / ثنائي
- نظام أرقام موضعي يستخدم الأرقام 0 و 1 فقط، حيث كل قيمة مكان هي قوة من اثنين (\(\dots, 8, 4, 2, 1\)).
- البت (رقم ثنائي)
- رقم ثنائي واحد، إما 0 أو 1. مجموعة من البتات تمثل رقمًا أكبر؛ على سبيل المثال \(1010_2\) يحتوي على أربعة بتات.
- المتمم الثنائي
- الطريقة الشائعة لتمثيل الأعداد الصحيحة ذات الإشارة في أجهزة الحاسوب. يتم تشكيل قيمة سالبة بعكس جميع بتات قيمتها المطلقة وإضافة 1، مما يسمح بإجراء الطرح كإضافة للرقم المنفي ضمن عرض بت ثابت.
- الحجم والإشارة
- تمثيل موقع بديل حيث يشير البت الأيسر إلى الإشارة (0 = موجب، 1 = سالب) والبتات المتبقية تعطي الحجم. بسيط للقراءة لكن لديه ترميزان للصفر وأقل ملاءمة للعمليات الحسابية من المتمم الثنائي.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون النتيجة سالبة؟ نعم. إذا كان المطروح أكبر من المطروح منه، تُرجع الحاسبة قيمة ثنائية سالبة مثل -101.
ماذا يحدث إذا أدخلت رمزًا غير صالح؟ الرقمان 0 و1 هما الرقمان الثنائيان الصالحان الوحيدان. وأي مُدخل غير ثنائي يُعامَل على أنه 0.
هل هذا مماثل للطرح بطريقة المتمّم الثنائي (Two's Complement)؟ القيمة العشرية متطابقة، لكن هذه الأداة تعرض النتيجة بصيغة الإشارة والمقدار (Sign-Magnitude) أي بإشارة ناقص، وليس بصيغة المتمّم الثنائي ذات العرض الثابت.
