حاسبة ضرب الأعداد الثنائية

أدخل الحساب

العدد الثنائي الأول

العدد الثنائي الثاني

نتائج

{

Binary Product (1010 × 11)

11110

ثنائي (الأساس 2)

العدد الأول (عشري)	١٠
العدد الثاني (عشري)	٣
حاصل الضرب (عشري)	٣٠

}

ما هي حاسبة ضرب الأعداد الثنائية؟

تقوم هذه الأداة بضرب عددين ثنائيين (بالأساس 2) وتعرض حاصل الضرب على هيئة سلسلة ثنائية، إلى جانب المكافئ العشري لكلٍّ من العددين المُدخلين وللناتج النهائي. وهي أداة رياضية عالمية — فحساب الأعداد الثنائية يعمل بالطريقة نفسها في كل مكان، ولا يرتبط بأي دولة أو نظام قانوني محدد.

طريقة الاستخدام

اكتب عددًا ثنائيًا (مكوّنًا من الرقمين 0 و1 فقط) في كل حقل. أي رموز أخرى يتم تجاهلها، لذا فإن المسافات أو الرموز الزائدة لن تؤثر على النتيجة. اضغط على زر الحساب لتشاهد حاصل الضرب بالنظامين الثنائي والعشري معًا.

شرح المعادلة

يمكن إجراء الضرب الثنائي بتةً تلو الأخرى عبر أسلوب الإزاحة والجمع، لكن الطريقة الأبسط هي تحويل كل عدد إلى النظام العشري ثم إجراء الضرب وإعادة تحويل الناتج إلى النظام الثنائي. وبصيغة رسمية: $$P_2 = \text{bin}\left(\text{dec}\left(A_2\right) \times \text{dec}\left(B_2\right)\right)$$ على سبيل المثال، القيمة الثنائية 1010 تساوي العدد العشري 10 لأن: $$1\cdot 8 + 0\cdot 4 + 1\cdot 2 + 0\cdot 1 = 10$$

مثال محلول

لنضرب 1010 × 11. أولًا نُجري التحويل: \(1010_2 = 10\) و\(11_2 = 3\). ثم نضرب في النظام العشري: $$10 \times 3 = 30$$ وأخيرًا نحوّل 30 إلى النظام الثنائي: $$30 = 16 + 8 + 4 + 2 = 11110_2$$ إذن 1010 × 11 = 11110 في النظام الثنائي.

يستخدم الضرب الثنائي طريقة الإزاحة والجمع نفسها المتبعة في الضرب الطويل العشري.

كيفية ضرب الأعداد الثنائية يدويًا

يستخدم الضرب الثنائي نفس إجراء الإزاحة والجمع في الضرب الطويل العشري، لكنه أبسط بكثير لأن كل رقم من أرقام المضروب فيه هو إما 0 أو 1. ضرب العدد 1 ينسخ المضروب؛ وضرب العدد 0 يعطي صفًا من الأصفار. العمل الوحيد الحقيقي هو إزاحة كل منتج جزئي نحو اليسار حسب موضع البت الخاص به ثم جمع الصفوف معًا باستخدام قواعد الحمل الثنائي.

مثال عملي لـ \((1010)_2 \times (11)_2\):

1. إعداد المعاملات. المضروب \(A = 1010_2 = 10\)، والمضروب فيه \(B = 11_2 = 3\). المنتج المتوقع هو \(10 \times 3 = 30\).
2. الضرب في أقصى يمين رقم المضروب فيه (البت 0 = 1). بما أن البت هو 1، انسخ المضروب: المنتج الجزئي \(= 1010\)، مع إزاحة نحو اليسار بمقدار 0 مكان.
3. الضرب في رقم المضروب فيه التالي (البت 1 = 1). البت هو 1، لذلك انسخ المضروب مرة أخرى وأزحه نحو اليسار بمقدار موضع واحد (أضف صفرًا واحدًا في النهاية): المنتج الجزئي \(= 10100\).
4. أسقط أي صفوف من الأصفار. إذا كان رقم المضروب فيه 0، فستكون صفه كاملًا من الأصفار وقد يتم تخطيه. هنا يتم الاحتفاظ بكلا الصفين.
5. أضف المنتجات الجزئية باستخدام الجمع الثنائي. اربط حسب القيمة الموضعية والجمع، واحمل كلما التقى 1 مع 1 (\(1+1 = 10\)، اكتب 0 احمل 1):
   \(\;\;\;01010\)
   \(+\,10100\)
   \(=\,11110\)
6. اقرأ النتيجة. المنتج الثنائي هو \((11110)_2\)، وهو يساوي 30 بالنظام العشري — مما يؤكد \(10 \times 3 = 30\). يمكنك التحقق من خطوة الجمع نفسها باعتبارها 11110.

بإيجاز: اصنع صفًا مزاحًا واحدًا لكل رقم من أرقام المضروب فيه (صفوف أصفار لأرقام 0)، ثم اجمع كل صف باستخدام الجمع الثنائي. المنتج الكامل لعدد بـ \(m\) بت وعدد بـ \(n\) بت لا يتجاوز \(m+n\) بت.

أمثلة عملية إضافية

يوضح كل مثال التحويل العشري لكلا المدخلين والمنتجات الجزئية للإزاحة والجمع والمنتج الثنائي النهائي.

المثال 1 — \(111_2 \times 101_2\) (7 × 5 = 35)

1. التحويل: \(111_2 = 7\)، \(101_2 = 5\).
2. أرقام المضروب فيه (من اليمين إلى اليسار) هي 1، 0، 1:
   • البت 0 = 1 \(\Rightarrow 111\) (إزاحة 0)
   • البت 1 = 0 \(\Rightarrow\) صف أصفار، مرفوض
   • البت 2 = 1 \(\Rightarrow 11100\) (إزاحة 2)
3. الجمع: \(00111 + 11100 = 100011\).
4. النتيجة: \((100011)_2 = \) 35، يطابق \(7 \times 5 = 35\).

المثال 2 — \(1100_2 \times 1010_2\) (12 × 10 = 120)

1. التحويل: \(1100_2 = 12\)، \(1010_2 = 10\).
2. أرقام المضروب فيه \(1010_2\) (من اليمين إلى اليسار) هي 0، 1، 0، 1:
   • البت 0 = 0 \(\Rightarrow\) تخطي
   • البت 1 = 1 \(\Rightarrow 11000\) (إزاحة 1)
   • البت 2 = 0 \(\Rightarrow\) تخطي
   • البت 3 = 1 \(\Rightarrow 1100000\) (إزاحة 3)
3. الجمع: \(0011000 + 1100000 = 1111000\).
4. النتيجة: \((1111000)_2 = \) 120، يطابق \(12 \times 10 = 120\).

المثال 3 — \(1_2 \times 1101_2\) (مضروب فيه برقم واحد، 1 × 13 = 13)

1. التحويل: \(1_2 = 1\)، \(1101_2 = 13\).
2. المضروب فيه \(1\) له بت واحد فقط يساوي 1، لذلك يوجد منتج جزئي واحد بالضبط بدون إزاحة: \(1101\).
3. مع صف واحد فقط لا يوجد شيء لجمعه.
4. النتيجة: \((1101)_2 = 13\). ضرب أي عدد ثنائي في \(1\) يتركه دون تغيير، تمامًا كما هو الحال في النظام العشري.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إذا أدخلت رقمًا غير ثنائي؟ يتم حذف أي رقم غير الرقمين 0 و1 قبل بدء الحساب، بحيث لا تُستخدم سوى الأرقام الثنائية الصحيحة.

هل تتعامل الأداة مع الأعداد الكبيرة؟ نعم — تُعالَج المدخلات كأعداد صحيحة بطول 64 بت، لذا تظل السلاسل الثنائية الطويلة جدًا دقيقة حتى هذا الحد.

لماذا تُعرض القيم العشرية؟ رؤية الصيغة العشرية تساعدك على التحقق من صحة التحويل وفهم ما يجري ضربه بدقة.