二进制乘法计算器

输入计算

第一个二进制数

第二个二进制数

结果

{

Binary Product (1010 × 11)

11110

二进制（基数为 2）

第一个数（十进制）	10
第二个数（十进制）	3
乘积（十进制）	30

}

什么是二进制乘法计算器？

这款工具可以将两个二进制（即逢二进一、基数为 2）数字相乘，并以二进制字符串的形式返回乘积，同时给出两个输入值和计算结果对应的十进制数值。它是一款通用的数学工具——二进制运算在世界各地的规则都完全一致，因此不涉及任何国家或地区的特定限制。

使用方法

在每个输入框中输入一个二进制数（只能包含数字 0 和 1）。其他字符会被自动忽略，所以即使夹杂了空格或多余符号，也不会影响计算结果。点击「计算」按钮，即可同时看到二进制和十进制两种形式的乘积。

公式解析

二进制乘法可以采用「移位相加」的方式逐位计算，但最简洁的做法是：先将每个操作数转换为十进制，相乘后再把结果转换回二进制。用公式表示就是：

$$\text{P}_2 = \text{bin}\left(\text{dec}\left(\text{A}_2\right) \times \text{dec}\left(\text{B}_2\right)\right)$$

举个例子，二进制数 1010 等于十进制 10，因为 \(1\cdot 8 + 0\cdot 4 + 1\cdot 2 + 0\cdot 1 = 10\)。

计算示例

计算 1010 × 11。首先进行转换：\(1010_2 = 10\)，\(11_2 = 3\)。在十进制下相乘：

$$10 \times 3 = 30$$

再把 30 转换回二进制：\(30 = 16 + 8 + 4 + 2 = 11110_2\)。因此，1010 × 11 的二进制结果为 11110。

二进制乘法采用与十进制竖式乘法相同的移位相加方法。

如何手工进行二进制数乘法

二进制乘法使用与十进制相同的移位-相加长乘法过程，但由于乘数的每一位数字要么是0，要么是1，所以要简单得多。乘以1会复制被乘数；乘以0会得到一行零。唯一的实际工作是将每个部分积按其比特位置左移，然后使用二进制进位规则将这些行相加。

\((1010)_2 \times (11)_2\)的详细演示：

1. 设置操作数。被乘数\(A = 1010_2 = 10\)，乘数\(B = 11_2 = 3\)。预期的乘积是\(10 \times 3 = 30\)。
2. 乘以最右边的乘数位（第0位 = 1）。由于该位是1，复制被乘数：部分积\(= 1010\)，左移0位。
3. 乘以下一个乘数位（第1位 = 1）。该位是1，所以再次复制被乘数，并将其左移1位（追加一个尾随零）：部分积\(= 10100\)。
4. 删除任何零行。如果一个乘数位是0，整行都是零，可以跳过。这里两行都保留。
5. 用二进制加法将部分积相加。按位值对齐并相加，当两个1相遇时进位（\(1+1 = 10\)，写下0进位1）：
   \(\;\;\;01010\)
   \(+\,10100\)
   \(=\,11110\)
6. 读取结果。二进制乘积是\((11110)_2\)，等于十进制的30——证实了\(10 \times 3 = 30\)。你可以验证加法步骤本身为11110。

简而言之：为每个乘数位生成一个移位的行（0位对应零行），然后使用二进制加法对所有行求和。一个\(m\)位数和一个\(n\)位数的完整乘积永远不超过\(m+n\)位。

更多已解决的示例

每个示例显示两个输入的十进制转换、移位-相加部分积以及最终二进制乘积。

示例1——\(111_2 \times 101_2\)（7 × 5 = 35）

1. 转换：\(111_2 = 7\)，\(101_2 = 5\)。
2. 乘数位（从右到左）为1、0、1：
   • 第0位 = 1\(\Rightarrow 111\)（移位0）
   • 第1位 = 0\(\Rightarrow\)零行，跳过
   • 第2位 = 1\(\Rightarrow 11100\)（移位2）
3. 相加：\(00111 + 11100 = 100011\)。
4. 结果：\((100011)_2 = \)35，与\(7 \times 5 = 35\)相符。

示例2——\(1100_2 \times 1010_2\)（12 × 10 = 120）

1. 转换：\(1100_2 = 12\)，\(1010_2 = 10\)。
2. 乘数\(1010_2\)的位（从右到左）为0、1、0、1：
   • 第0位 = 0\(\Rightarrow\)跳过
   • 第1位 = 1\(\Rightarrow 11000\)（移位1）
   • 第2位 = 0\(\Rightarrow\)跳过
   • 第3位 = 1\(\Rightarrow 1100000\)（移位3）
3. 相加：\(0011000 + 1100000 = 1111000\)。
4. 结果：\((1111000)_2 = \)120，与\(12 \times 10 = 120\)相符。

示例3——\(1_2 \times 1101_2\)（单位乘数，1 × 13 = 13）

1. 转换：\(1_2 = 1\)，\(1101_2 = 13\)。
2. 乘数\(1\)有一个等于1的单一位，因此恰好有一个部分积，没有移位：\(1101\)。
3. 只有一行，没有什么需要相加。
4. 结果：\((1101)_2 = 13\)。任何二进制数乘以\(1\)都保持不变，就像十进制一样。

常见问题

如果我输入了非二进制数字怎么办？ 除 0 和 1 以外的数字会在计算前被自动剔除，因此只会使用有效的二进制数位参与运算。

能处理很大的数字吗？ 可以——输入按 64 位整数进行处理，所以即使是很长的二进制字符串，在该上限范围内也能保持准确。

为什么要显示十进制数值？ 同时展示十进制形式，可以帮助你核对转换是否正确，并清楚地了解究竟是哪两个数在相乘。