二進位乘法計算機

輸入計算

第一個二進位數

第二個二進位數

結果

{

Binary Product (1010 × 11)

11110

二進位（基數 2）

第一個數（十進位）	10
第二個數（十進位）	3
乘積（十進位）	30

}

什麼是二進位乘法計算機？

這個工具能將兩個二進位（base-2，即基數為 2）的數字相乘，並以二進位字串呈現乘積，同時附上兩個輸入值與結果的十進位對照。它是一款通用的數學工具——二進位運算在世界各地都遵循相同的規則，因此不受任何國家或地區的法規影響。

使用方式

在每個欄位中輸入一個二進位數字（只能使用 0 和 1）。系統會自動忽略其他字元，所以即使夾雜空格或多餘符號，也不會影響計算結果。按下計算後，即可同時看到二進位與十進位形式的乘積。

公式解析

二進位乘法可以用「位移相加（shift-and-add）」的方式逐位計算，但最簡潔的做法是：先把每個運算元轉成十進位，相乘後再把答案換回二進位。以公式表示為：

$$\text{P}_2 = \text{bin}\!\left(\text{dec}\!\left(\text{A}_2\right) \times \text{dec}\!\left(\text{B}_2\right)\right)$$

舉例來說，二進位 1010 等於十進位 10，因為 \(1\cdot 8 + 0\cdot 4 + 1\cdot 2 + 0\cdot 1 = 10\)。

範例演算

計算 1010 × 11。先進行轉換：\(1010_2 = 10\)，\(11_2 = 3\)。在十進位下相乘：

$$10 \times 3 = 30$$

再把 30 換回二進位：

$$30 = 16 + 8 + 4 + 2 = 11110_2$$

因此 1010 × 11 的二進位結果為 11110。

二進位乘法採用與十進位直式乘法相同的移位相加方法。

如何手工計算二進制乘法

二進制乘法使用與十進制相同的移位相加長乘法程序，但因為乘數的每一位數字要麼是0要麼是1，所以簡單得多。乘以1會複製被乘數；乘以0會得到一行零。真正的工作只是按位位置左移每個部分積，然後用二進制進位規則將各行相加。

工作演練：\((1010)_2 \times (11)_2\)：

1. 設置運算數。被乘數\(A = 1010_2 = 10\)，乘數\(B = 11_2 = 3\)。預期積為\(10 \times 3 = 30\)。
2. 乘以最右邊的乘數位（第0位 = 1）。因為該位是1，複製被乘數：部分積\(= 1010\)，左移0位。
3. 乘以下一個乘數位（第1位 = 1）。該位是1，所以再次複製被乘數並將其左移1位（在末尾附加一個零）：部分積\(= 10100\)。
4. 刪除任何零行。如果乘數位是0，其整行將是零，可以跳過。這裡兩行都保留。
5. 用二進制加法相加部分積。按位值對齐並相加，當兩個1相遇時進位（\(1+1 = 10\)，寫0進1）：
   \(\;\;\;01010\)
   \(+\,10100\)
   \(=\,11110\)
6. 讀取結果。二進制積為\((11110)_2\)，等於十進制的30——確認了\(10 \times 3 = 30\)。您可以驗證加法步驟本身為11110。

簡言之：為每個乘數位生成一行移位後的行（0位對應零行），然後用二進制加法求和所有行。\(m\)位數和\(n\)位數的完整積永遠不超過\(m+n\)位。

更多工作示例

每個示例都展示了兩個輸入的十進制轉換、移位相加部分積以及最終的二進制積。

示例1——\(111_2 \times 101_2\)（7 × 5 = 35）

1. 轉換：\(111_2 = 7\)、\(101_2 = 5\)。
2. 乘數位（從右到左）分別為1、0、1：
   • 第0位 = 1 \(\Rightarrow 111\)（移位0）
   • 第1位 = 0 \(\Rightarrow\)零行，跳過
   • 第2位 = 1 \(\Rightarrow 11100\)（移位2）
3. 相加：\(00111 + 11100 = 100011\)。
4. 結果：\((100011)_2 = \)35，符合\(7 \times 5 = 35\)。

示例2——\(1100_2 \times 1010_2\)（12 × 10 = 120）

1. 轉換：\(1100_2 = 12\)、\(1010_2 = 10\)。
2. 乘數\(1010_2\)的位（從右到左）分別為0、1、0、1：
   • 第0位 = 0 \(\Rightarrow\)跳過
   • 第1位 = 1 \(\Rightarrow 11000\)（移位1）
   • 第2位 = 0 \(\Rightarrow\)跳過
   • 第3位 = 1 \(\Rightarrow 1100000\)（移位3）
3. 相加：\(0011000 + 1100000 = 1111000\)。
4. 結果：\((1111000)_2 = \)120，符合\(12 \times 10 = 120\)。

示例3——\(1_2 \times 1101_2\)（單位乘數，1 × 13 = 13）

1. 轉換：\(1_2 = 1\)、\(1101_2 = 13\)。
2. 乘數\(1\)有一個單位，其值等於1，因此恰好有一個部分積，無需移位：\(1101\)。
3. 只有一行，所以無需相加。
4. 結果：\((1101)_2 = 13\)。在二進制中將任何數乘以\(1\)都使其保持不變，就像在十進制中一樣。

常見問題

如果我輸入了非二進位的數字怎麼辦？計算前，系統會先剔除 0 和 1 以外的所有數字，因此只會採用有效的二進位位元。

能處理很大的數字嗎？可以——輸入值會以 64 位元整數進行處理，所以即使是很長的二進位字串，只要在此上限內都能維持精準。

為什麼要顯示十進位數值？對照十進位形式能讓你驗證轉換是否正確，並清楚了解究竟是哪些數字在相乘。