ما هي الدالة الإنفولوتية؟
الدالة الإنفولوتية، التي تُكتب على الصورة \(\operatorname{inv}(\alpha) = \tan(\alpha) - \alpha\)، هي علاقة جوهرية في هندسة التروس والمحاور المشرشرة (Splines). وهي تصف هندسة المنحنى الإنفولوتي — أي المسار الذي يرسمه طرفُ خيطٍ مشدودٍ أثناء انفكاكه عن دائرة (تُسمى الدائرة الأساسية). ولأن المقاطع الإنفولوتية لأسنان التروس تنقل الحركة بسلاسة وبنسبة سرعة ثابتة، فإن جميع التروس الحديثة تقريبًا تعتمد عليها، وتظهر الدالة الإنفولوتية في معظم حسابات قياس التروس وتصميمها.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل زاوية الضغط (أو أي زاوية)، ثم اختر ما إذا كانت معطاة بالدرجات أم بالراديان. تقوم الحاسبة بتحويل الزاوية إلى الراديان عند الحاجة، ثم تحسب \(\tan(\alpha) - \alpha\). الناتج عديم الوحدة ويُعبَّر عنه دائمًا بالنسبة إلى الراديان. لاحظ أن قيمة \(\alpha\) يجب أن تقع بدقة بين 0 و90° (أي بين 0 و\(\pi/2\) راديان)؛ فعند الزاوية 90° تمامًا تصبح دالة الظل (tan) غير معرَّفة.
شرح المعادلة
تتطلب الدالة الإنفولوتية أن تكون الزاوية بالراديان: $$\operatorname{inv}(\alpha) = \tan(\alpha) - \alpha$$ فإذا أدخلت القيمة بالدرجات، فحوِّلها أولًا باستخدام الصيغة \(\alpha_{\text{راديان}} = \alpha_{\text{درجات}} \times \frac{\pi}{180}\). ومن الأخطاء الشائعة طرحُ الزاوية بالدرجات من قيمة ظلٍّ محسوبة بالراديان — إذ يجب أن يستخدم الحدّان الوحدة نفسها (الراديان).
مثال محلول
لزاوية ضغط قياسية مقدارها 20°: نحوِّلها إلى الراديان، $$20 \times \frac{\pi}{180} = 0.349066 \text{ راديان}$$ ثم \(\tan(0.349066) = 0.363970\)، وبذلك يكون $$\operatorname{inv}(20°) = 0.363970 - 0.349066 = \mathbf{0.014904}$$ وهذه هي القيمة الجدولية المعروفة المستخدَمة في جداول التروس.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون الزاوية بالراديان؟ لأن عملية الطرح \(\tan(\alpha) - \alpha\) لا يكون لها معنى هندسي إلا عندما تمثّل \(\alpha\) طولَ قوسٍ على دائرة الوحدة، وهو ما يقابل قياس الزاوية بالراديان.
ما الزوايا الصالحة للاستخدام؟ أي زاوية تكون عندها دالة الظل معرَّفة، أي ليست 90° أو 270° وما إلى ذلك. وفي أعمال التروس، تكون زوايا الضغط عادةً 14.5° أو 20° أو 25°.
كيف أعكس العملية (أي أجد \(\alpha\) انطلاقًا من \(\operatorname{inv}(\alpha)\))؟ لا توجد صيغة عكسية مغلقة؛ بل تُحَل المسألة بالتكرار (مثل طريقة نيوتن). وهذه الأداة تحسب الاتجاه الأمامي فقط.
