Hàm thân khai là gì?
Hàm thân khai, ký hiệu \(\operatorname{inv}(\alpha) = \tan(\alpha) - \alpha\), là một quan hệ nền tảng trong kỹ thuật bánh răng và then hoa. Nó mô tả hình học của đường thân khai (involute) — quỹ đạo vạch ra bởi đầu mút của một sợi dây căng khi được tháo dần khỏi một vòng tròn (gọi là vòng tròn cơ sở). Nhờ biên dạng răng thân khai truyền chuyển động êm ái với tỷ số vận tốc không đổi, hầu hết bánh răng hiện đại đều dùng dạng này, và hàm thân khai xuất hiện xuyên suốt trong các phép đo và tính toán thiết kế bánh răng.
Cách sử dụng máy tính
Nhập góc áp lực (hoặc góc bất kỳ) và chọn đơn vị là độ hay radian. Máy tính sẽ tự chuyển góc sang radian nếu cần, rồi tính \(\tan(\alpha) - \alpha\). Kết quả là một đại lượng không thứ nguyên và luôn được biểu diễn theo radian. Lưu ý rằng \(\alpha\) phải nằm trong khoảng từ 0 đến 90° (tức từ 0 đến \(\pi/2\) radian); tại đúng 90° thì tang không xác định.
Giải thích công thức
Hàm thân khai đòi hỏi góc phải tính bằng radian:
$$\operatorname{inv}(\alpha) = \tan(\alpha) - \alpha$$
Nếu bạn nhập theo độ, hãy đổi sang radian trước bằng \(\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{deg}} \times \pi/180\). Một sai lầm thường gặp là lấy tang tính theo radian rồi trừ đi góc tính theo độ — cả hai số hạng buộc phải cùng một đơn vị (radian).
Ví dụ minh họa
Với góc áp lực tiêu chuẩn 20°: đổi sang radian, \(20 \times \pi/180 = 0{,}349066\) rad. Khi đó \(\tan(0{,}349066) = 0{,}363970\), nên
$$\operatorname{inv}(20°) = 0{,}363970 - 0{,}349066 = 0{,}014904$$
Đây chính là giá trị quen thuộc thường tra trong các bảng số liệu bánh răng.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao góc phải tính bằng radian? Phép trừ \(\tan(\alpha) - \alpha\) chỉ có ý nghĩa hình học khi \(\alpha\) là độ dài cung trên vòng tròn đơn vị, tức là số đo theo radian.
Những góc nào hợp lệ? Mọi góc mà tang xác định, nghĩa là khác 90°, 270°,... Trong lĩnh vực bánh răng, góc áp lực thường là 14,5°, 20° hoặc 25°.
Làm sao tính ngược (tìm \(\alpha\) từ \(\operatorname{inv}(\alpha)\))? Không có công thức nghịch đảo dạng tường minh; phải giải bằng phương pháp lặp (ví dụ phương pháp Newton). Công cụ này chỉ tính theo chiều thuận.
