Что такое эвольвентная функция?
Эвольвентная функция, которую записывают как \(\operatorname{inv}(\alpha) = \tan(\alpha) - \alpha\), — это базовое соотношение в расчётах зубчатых передач и шлицевых соединений. Она описывает геометрию эвольвенты — кривой, которую вычерчивает конец натянутой нити, разматывающейся с окружности (основной окружности). Поскольку эвольвентный профиль зуба обеспечивает плавную передачу движения с постоянным передаточным отношением, его используют практически во всех современных зубчатых колёсах, а сама эвольвентная функция встречается во множестве расчётов по измерению и проектированию шестерён.
Как пользоваться калькулятором
Введите угол зацепления (или любой другой угол) и укажите, в чём он задан — в градусах или радианах. При необходимости калькулятор переведёт угол в радианы, а затем вычислит \(\tan(\alpha) - \alpha\). Результат безразмерный и всегда соответствует значению в радианах. Учтите, что \(\alpha\) должен лежать строго между 0 и 90° (между 0 и \(\pi/2\) радиан): ровно при 90° тангенс не определён.
Разбор формулы
Для эвольвентной функции угол нужно подставлять в радианах: $$\operatorname{inv}(\alpha) = \tan(\alpha) - \alpha$$ Если у вас угол в градусах, сначала переведите его по формуле \(\alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \times \pi/180\). Типичная ошибка — вычесть угол в градусах из тангенса, посчитанного в радианах: оба слагаемых должны быть в одних единицах (радианах).
Пример расчёта
Возьмём стандартный угол зацепления 20°: переводим в радианы, $$20 \times \frac{\pi}{180} = 0{,}349066 \text{ рад}$$ Тогда \(\tan(0{,}349066) = 0{,}363970\), а значит $$\operatorname{inv}(20°) = 0{,}363970 - 0{,}349066 = \mathbf{0{,}014904}$$ Это хорошо известное табличное значение, которое приводят в справочниках по зубчатым колёсам.
Частые вопросы
Почему угол должен быть в радианах? Разность \(\tan(\alpha) - \alpha\) имеет геометрический смысл только тогда, когда \(\alpha\) — это длина дуги на единичной окружности, то есть мера угла в радианах.
Какие углы допустимы? Любые, при которых определён тангенс, то есть не 90°, 270° и т. д. В расчётах зубчатых передач угол зацепления обычно составляет 14,5°, 20° или 25°.
Как решить обратную задачу (найти \(\alpha\) по \(\operatorname{inv}(\alpha)\))? Аналитической обратной функции не существует — её находят итеративно (например, методом Ньютона). Этот калькулятор считает только в прямом направлении.
