ما هو محول النظام الثنائي إلى العشري؟
النظام الثنائي (Binary) هو نظام العدّ بالأساس 2 الذي تعتمد عليه جميع الحواسيب الرقمية، ويُكتب باستخدام الرقمين 0 و1 فقط. أما النظام العشري (Decimal) فهو نظام الأساس 10 المألوف الذي نستخدمه في حياتنا اليومية. يأخذ هذا المحوّل أي رقم ثنائي ويحوّله إلى قيمته العشرية المكافئة، ليسهّل عليك قراءة بيانات المستوى الآلي والتحقق منها، مثل أجزاء عناوين IP أو أكواد الألوان أو واجبات علوم الحاسوب.
طريقة الاستخدام
اكتب رقمًا ثنائيًا — أي سلسلة مكوّنة من الأصفار والآحاد (0 و1) — في خانة الإدخال ثم اضغط للتحويل. تُتجاهل تلقائيًا أي رموز ليست 0 أو 1. تعرض لك الحاسبة القيمة العشرية المكافئة (الأساس 10) إضافةً إلى عدد البتات (bits) في رقمك.
شرح المعادلة
يحمل كل موضع في الرقم الثنائي وزنًا يساوي إحدى قوى العدد اثنين. وعند القراءة من اليمين إلى اليسار، يكون وزن الخانة الأولى من اليمين \(2^0 = 1\)، ثم \(2^1 = 2\)، ثم \(2^2 = 4\)، وهكذا. وتساوي القيمة العشرية مجموع حاصل ضرب كل بِت في وزنه الموضعي:
$$\text{Decimal} = \sum_{i=0}^{n-1} b_i \times 2^{\,i}, \quad b_i \in \text{Binary Number}$$
حيث \(i\) من 0 إلى \(n-1\)، و\(i\) هو رقم الموضع محسوبًا من اليمين.
مثال محلول
لنحوّل 101101 إلى النظام العشري. بالقراءة من اليمين إلى اليسار: $$1\times 2^0 + 0\times 2^1 + 1\times 2^2 + 1\times 2^3 + 0\times 2^4 + 1\times 2^5 = 1 + 0 + 4 + 8 + 0 + 32 = 45$$ إذًا الرقم الثنائي 101101 يساوي 45 في النظام العشري.
التعاريف والمسرد
يصبح فهم تحويل النظام الثنائي إلى العشري أسهل بكثير عندما تكون المفردات الأساسية واضحة. تصف المصطلحات أدناه اللبنات الأساسية للأرقام الثنائية والنظام الموضعي الذي يعطي كل رقم قيمته.
- البت — اختصار الرقم الثنائي، أصغر وحدة للمعلومات الرقمية. يحمل البت قيمة واحدة فقط من قيمتين: 0 أو 1.
- البايت — مجموعة من 8 بتات. يمكن لبايت واحد أن يمثل \(2^{8} = 256\) قيمة مختلفة، من 0 إلى 255 بالنظام العشري.
- النيبل — مجموعة من 4 بتات (نصف بايت). يمكن للنيبل أن يمثل \(2^{4} = 16\) قيمة (0–15) ويقابل بدقة رقم سادس عشري واحد.
- الأساس / الجذر — عدد الأرقام الفريدة التي يستخدمها نظام العد، بما في ذلك الصفر. يعمل الأساس أيضًا كمضروب بين المواضع الرقمية المجاورة. النظام الثنائي له أساس (جذر) من 2؛ النظام العشري له أساس من 10.
- الأساس-2 (ثنائي) — نظام عد يستخدم فقط الأرقام 0 و 1، حيث يكون كل موضع قوة من قوى 2. وهو اللغة الأصلية للإلكترونيات الرقمية والحواسيب.
- الأساس-10 (عشري) — نظام العد اليومي الذي يستخدم عشرة أرقام (0–9)، حيث يكون كل موضع قوة من قوى 10. هذا هو تنسيق الهدف الذي ينتجه التحويل من النظام الثنائي إلى العشري.
- الترميز الموضعي — نظام تعتمد فيه قيمة الرقم على الرقم نفسه وموضعه. يحمل كل موضع وزنًا مساويًا للأساس مرفوع إلى قوة فهرس الموضع. بالنسبة للنظام الثنائي، الأوزان هي \(2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, \dots\) قراءة من اليمين إلى اليسار.
- البت الأكثر أهمية (MSB) — البت الأيسر من الرقم الثنائي، الذي يحمل أكبر وزن موضعي. تغيير البت الأكثر أهمية له أكبر تأثير على قيمة الرقم. على سبيل المثال، في \(1011_2\) الـ 1 الأول هو البت الأكثر أهمية بوزن \(2^{3} = 8\).
- البت الأقل أهمية (LSB) — البت الأيمن، يحمل أصغر وزن، \(2^{0} = 1\). يحدد ما إذا كان الرقم زوجيًا (LSB 0) أم فرديًا (LSB 1).
الأسئلة الشائعة
ما أكبر رقم ثنائي يمكن للحاسبة معالجته؟ تحوّل الحاسبة بدقة أرقامًا تتجاوز 53 بِتًا في الاستخدامات المعتادة، أما المدخلات الطويلة جدًا فقد تفقد بعض الدقة بسبب قيود الأعداد العائمة (floating-point).
هل يؤثّر ترتيب الأرقام؟ نعم — فالنظام الثنائي نظام موضعي. والرقم الموجود أقصى اليسار هو الأكثر دلالة (يحمل أعلى قوة للعدد اثنين).
ماذا يحدث إذا أدخلتُ مسافات أو رموزًا أخرى؟ تُحذف الرموز غير الثنائية تلقائيًا، لذا تُقرأ "1011 0101" على أنها "10110101".
