¿Qué es el teorema de la bisectriz?
El teorema de la bisectriz es uno de los resultados clásicos de la geometría euclidiana. En un triángulo ABC, cuando la bisectriz del ángulo A corta al lado opuesto BC en el punto D, lo divide en dos segmentos, BD y DC, cuyas longitudes son proporcionales a los dos lados que forman el ángulo bisecado. Dicho de forma exacta: \(BD/DC = AB/AC\). Esta calculadora obtiene la longitud precisa de cada segmento cuando conoces las tres medidas necesarias.
Cómo usar la calculadora
Introduce la longitud del lado AB (el adyacente al vértice B), del lado AC (adyacente al vértice C) y la longitud total del lado bisecado BC. La calculadora te devuelve la longitud del segmento BD (desde B hasta el pie de la bisectriz), del segmento DC (desde D hasta C) y la razón proporcional AB:AC. La suma de BD y DC siempre coincide con BC.
La fórmula, paso a paso
Como la bisectriz reparte BC según la razón de los lados adyacentes, planteamos
$$BD = \text{BC} \cdot \frac{\text{AB}}{\text{AB} + \text{AC}} \qquad DC = \text{BC} \cdot \frac{\text{AC}}{\text{AB} + \text{AC}}$$Ambas expresiones se deducen directamente de la proporción \(BD/DC = AB/AC\) junto con la igualdad \(BD + DC = BC\). Fíjate en que no hace falta la longitud de la propia bisectriz: solo los dos lados adyacentes determinan la razón.
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(AB = 8\), \(AC = 4\) y \(BC = 9\). La suma \(AB + AC = 12\). Entonces
$$BD = \frac{9 \times 8}{12} = 6 \qquad DC = \frac{9 \times 4}{12} = 3$$Comprobación: \(6 + 3 = 9 = BC\), y la razón \(6:3 = 2:1\) coincide con \(AB:AC = 8:4 = 2:1\). La bisectriz corta el lado más cerca del lado adyacente más corto.
División de Segmentos en Diferentes Triángulos
El Teorema de la Bisectriz de Ángulo divide el lado opuesto \(BC\) en dos partes, \(BD\) y \(DC\), cuyas longitudes siguen la razón de los dos lados adyacentes \(AB:AC\). Cuando los dos lados adyacentes son iguales, la bisectriz cae exactamente en el punto medio; cuanto más desigual sean los lados, más se desplaza el pie \(D\) hacia el lado más corto. La tabla siguiente trabaja a través de tres casos representativos.
| Caso | AB | AC | BC | BD | DC | AB : AC |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Equilibrado (isósceles) | 6 | 6 | 10 | 5 | 5 | 1 : 1 |
| Moderado | 8 | 4 | 9 | 6 | 3 | 2 : 1 |
| Sesgado | 10 | 2 | 6 | 5 | 1 | 5 : 1 |
Verificación desarrollada para el caso moderado: con \(AB = 8\), \(AC = 4\), \(BC = 9\),
$$BD = BC \cdot \frac{AB}{AB + AC} = 9 \cdot \frac{8}{8 + 4} = 9 \cdot \frac{8}{12} = 6,$$ $$DC = BC \cdot \frac{AC}{AB + AC} = 9 \cdot \frac{4}{12} = 3.$$Los dos segmentos se suman nuevamente a \(BD + DC = 6 + 3 = 9 = BC\), y la razón \(BD:DC = 6:3 = 2:1\) coincide con \(AB:AC = 8:4 = 2:1\), confirmando el teorema.
Términos Clave y Variables
- Triángulo ABC — el triángulo cuyos tres vértices se etiquetan \(A\), \(B\) y \(C\). La bisectriz en esta herramienta se dibuja desde el vértice \(A\) hacia el lado opuesto \(BC\).
- Vértice A — la esquina desde la cual se dibuja la bisectriz de ángulo. El ángulo interior en \(A\) (ángulo \(\angle BAC\)) es el ángulo que se divide en dos mitades iguales.
- Bisectriz de ángulo — una línea o segmento que divide un ángulo en dos ángulos iguales. La bisectriz desde \(A\) divide \(\angle BAC\) en dos ángulos de igual medida.
- Punto D (pie de la bisectriz) — el punto donde la bisectriz desde \(A\) se encuentra con el lado opuesto \(BC\). Se encuentra entre \(B\) y \(C\) para una bisectriz interna.
- Segmento BD — la porción del lado \(BC\) desde el vértice \(B\) hasta el pie \(D\). Es proporcional al lado adyacente \(AB\).
- Segmento DC — la porción del lado \(BC\) desde el pie \(D\) hasta el vértice \(C\). Es proporcional al lado adyacente \(AC\). Juntos \(BD + DC = BC\).
- Razón AB : AC — la razón de los dos lados adyacentes al vértice \(A\). El Teorema de la Bisectriz de Ángulo establece que \(\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}\), por lo que esta razón controla directamente cómo se divide \(BC\).
- Bisectriz interna versus externa — la bisectriz interna divide el ángulo interior y se encuentra con \(BC\) entre \(B\) y \(C\) (el caso tratado aquí). La bisectriz externa divide el ángulo exterior suplementario y se encuentra con la línea \(BC\) fuera del segmento, dividiéndolo externamente en la misma razón \(AB:AC\).
Preguntas frecuentes
¿Sirve para la bisectriz externa? No: esta herramienta trabaja con la bisectriz interna, que produce una división interna de BC. La bisectriz externa divide a BC de forma externa.
¿Qué ocurre si AB es igual a AC? Entonces el triángulo es isósceles en A y la bisectriz llega al punto medio de BC, de modo que \(BD = DC\).
¿Necesito conocer el ángulo? No. El teorema depende únicamente de las longitudes de los lados, no de la medida del ángulo.
