Калькулятор вероятности P(A и B) — совместная вероятность

P(A)	0,5
P(B) / P(B\|A)	0,5
P(A и B)	0,25

Что такое вероятность «И»?

Вероятность «И», которую записывают как $P(A \text{ и } B)$ или $P(A \cap B)$, — это шанс того, что произойдут сразу оба события. Она отвечает на вопросы вроде: «Какова вероятность того, что я выброшу шестёрку и при подбрасывании монеты выпадет орёл?» Любая вероятность лежит в пределах от 0 (невозможное событие) до 1 (достоверное событие), поэтому совместная вероятность двух событий всегда не больше вероятности каждого из них по отдельности.

Диаграмма Венна из двух перекрывающихся кругов с выделенной областью пересечения — $P(A \text{ и } B)$ соответствует пересечению событий A и B.

Как пользоваться калькулятором

Сначала укажите, являются ли ваши события независимыми или зависимыми. Для независимых событий введите $P(A)$ и $P(B)$. Для зависимых — введите $P(A)$ и условную вероятность $P(B \mid A)$, то есть шанс того, что произойдёт B при условии, что A уже наступило. Калькулятор перемножит эти два значения и покажет результат в виде десятичной дроби и в процентах.

Разбор формулы

Для независимых событий действует правило умножения: $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$ Для зависимых событий исход одного меняет шансы другого, поэтому применяется общее правило умножения: $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)$$ С точки зрения вычислений всё устроено одинаково — вы просто подставляете $P(B \mid A)$ вместо $P(B)$. Именно поэтому в обоих режимах калькулятор перемножает два введённых вами числа.

Дерево вероятностей, показывающее ветвление события A к событию B для независимого и зависимого случаев — Дерево вероятностей: перемножьте вдоль ветви от A к B, чтобы получить $P(A \text{ и } B)$.

Пример с решением

Допустим, вероятность дождя равна $P(A) = 0{,}4$, а независимо от него вероятность опоздания автобуса — $P(B) = 0{,}25$. Тогда вероятность того, что произойдёт и то и другое, составит $$0{,}4 \times 0{,}25 = 0{,}10$$ то есть 10%. Если же события зависимы и дождь повышает шанс опоздания автобуса до $P(B \mid A) = 0{,}6$, то $$P(A \cap B) = 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24$$ то есть 24%.

Частые вопросы

Что означает $P(B \mid A)$? Это вероятность события B при условии, что событие A уже произошло; читается как «вероятность B при условии A».

А если события несовместны? Тогда они не могут произойти одновременно, поэтому $P(A \text{ и } B) = 0$.

Чем это отличается от вероятности «ИЛИ»? Для «И» используется умножение (оба события), а для «ИЛИ» — сложение за вычетом пересечения (хотя бы одно из событий).

Независимые против зависимых: сравнение сценариев

Вероятность того, что оба события произойдут, записывается как $P(A \cap B)$, зависит от того, являются ли события независимыми (одно не влияет на другое) или зависимыми (исход A изменяет вероятность B). Для независимых событий вы умножаете $P(A) \times P(B)$; для зависимых событий вы умножаете $P(A) \times P(B \mid A)$, где $P(B \mid A)$ — условная вероятность B при условии, что A уже произошло.

P(A)	P(B) или P(B\\|A)	Тип	P(A и B)	Примечания
0.5	0.5	Независимые	0.25	Две честные монеты обе выпали орлом
0.5	0.8	Зависимые	0.40	P(B\\|A) выше, потому что A делает B более вероятным
0.1667	0.1667	Независимые	0.0278	Выпадение двух шестёрок на честных костях (1/36)
0.25	0.20	Зависимые	0.05	Вытаскивание двух конкретных карт по очереди
0.6	0.0	Взаимоисключающие	0.0	События не могут произойти одновременно, поэтому P(A и B)=0
1.0	0.3	Независимые	0.30	A достоверно, поэтому результат равен P(B)

Обратите внимание, что $P(A \cap B)$ всегда меньше или равна минимуму из двух вероятностей. Для взаимоисключающих событий оба не могут произойти одновременно, поэтому $P(A \cap B) = 0$. Для тесно связанных событий вам также может понадобиться обратное направление, $P(A \mid B)$, которое калькулятор условной вероятности вычисляет из $P(A \cap B)$ и $P(B)$.

Как вычислить P(A и B) вручную

Используйте эти шаги для любой пары событий. Единственное решение, которое изменяет расчёты — это определить, являются ли события независимыми или зависимыми.

Определите, являются ли события независимыми или зависимыми. Независимые означают, что знание о том, что произошло A, ничего не говорит вам о B (например, два подбрасывания монеты). Зависимые означают, что A изменяет вероятность B (например, вытаскивание карт без возврата).
Запишите $P(A)$. Выразите как десятичную дробь от 0 до 1. Например, честная монета даёт $P(A) = 0.5$.
Запишите вторую вероятность. Для независимых событий используйте $P(B)$. Для зависимых событий используйте условную вероятность $P(B \mid A)$ — вероятность B после того, как произошло A.
Умножьте оба значения. $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \quad \text{или} \quad P(A) \times P(B \mid A)$$ Для двух честных монет: $0.5 \times 0.5 = 0.25$.
Преобразуйте десятичную дробь в процент, умножив на 100. Здесь $0.25 \times 100 = 25\%$.

Проверка здравого смысла: ответ должен быть не больше ни одного из входных значений, так как требование выполнения обоих событий может только сделать исход более редким (или равновероятным). Если ваш результат превышает $P(A)$ или $P(B)$, вы допустили ошибку в арифметике. Быстрый практический пример: вытаскивание красной карты, а затем пики иллюстрирует зависимый случай, а две независимые кости, каждая показывающая шестёрку, даёт $0.1667 \times 0.1667 = 0.0278$, что соответствует шансу 1 из 36 из калькулятора вероятности костей.