Что считает этот калькулятор
Этот инструмент вычисляет площадь равнобедренного треугольника, если известны длина его основания и длина двух равных боковых сторон. Дополнительно он покажет высоту треугольника (опущенную из вершины на основание) и периметр — так вы получите полную картину фигуры всего по двум измерениям.
Как пользоваться
Введите длину основания (b) и длину одной из боковых сторон (a) в одинаковых единицах измерения. Калькулятор мгновенно выдаст площадь в квадратных единицах, высоту в линейных единицах и периметр. Каждая из боковых сторон должна быть длиннее половины основания, иначе такого треугольника просто не существует.
Разбор формулы
У равнобедренного треугольника две равные боковые стороны длиной a и основание длиной b. Если опустить перпендикуляр из вершины на основание, треугольник разделится на два прямоугольных, у каждого из которых гипотенуза равна a, а катет — b/2. Поэтому высота равна \(h = \sqrt{a^{2} - (b/2)^{2}} = \frac{\sqrt{4a^{2} - b^{2}}}{2}\). Площадь — это половина основания, умноженная на высоту, что упрощается до формулы:
$$A = \frac{\text{Base (b)}}{4}\sqrt{4\,\text{Side (a)}^{2} - \text{Base (b)}^{2}}$$
Пример расчёта
Пусть основание равно 6, а каждая боковая сторона — 5. Тогда \(4a^{2} - b^{2} = 4\cdot25 - 36 = 100 - 36 = 64\). Квадратный корень из 64 равен 8. Значит, площадь $$A = \frac{6}{4}\cdot8 = 1{,}5\cdot8 = 12$$ квадратных единиц. Высота \(= 8/2 = 4\), а периметр \(= 6 + 2\cdot5 = 16\).
Частые вопросы
Что, если боковая сторона слишком короткая? Если выражение \(4a^{2} - b^{2}\) равно нулю или отрицательно, боковые стороны не могут сомкнуться над основанием — треугольник не существует, и площадь выводится как 0.
Какую сторону вводить как боковую? Введите длину одной из двух одинаковых боковых сторон. У равнобедренного треугольника они равны между собой.
В каких единицах получается результат? Площадь выражается в квадратных единицах того измерения, которое вы ввели, а высота и периметр — в тех же линейных единицах.
Площадь различных равнобедренных треугольников
Равнобедренный треугольник имеет основание \(b\) и две равные стороны \(a\). Проведите перпендикуляр из вершины к основанию, и он разделит треугольник на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, каждый с гипотенузой \(a\) и горизонтальным катетом \(b/2\). Высота равна:
$$h = \sqrt{a^{2} - \left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{4a^{2} - b^{2}}$$и площадь получается непосредственно:
$$A = \frac{b}{4}\sqrt{4a^{2} - b^{2}}, \qquad P = 2a + b.$$Таблица ниже применяет эти точные формулы к нескольким парам основания и стороны. Каждая строка требует \(a > b/2\), чтобы треугольник мог действительно замкнуться.
| Основание (b) | Сторона (a) | Высота (h) | Площадь (A) | Периметр (P) |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 5 | 4 | 12 | 16 |
| 8 | 5 | 3 | 12 | 18 |
| 10 | 13 | 12 | 60 | 36 |
| 4 | 4 | ≈ 3,464 | ≈ 6,928 | 12 |
Последняя строка (b=4, a=4) — это также равносторонний треугольник, поэтому его высота равна \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4 \approx 3,464\) и его площадь совпадает со значением равностороннего треугольника, равным примерно 6,928.
