Что такое арифметическая прогрессия?
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянную величину. Её называют разностью прогрессии и обозначают \(d\). Начиная с первого члена \(a_1\), к каждому новому члену прибавляется \(d\). Этот калькулятор мгновенно находит n-й член (\(a_n\)) и сумму первых n членов (\(S_n\)) по трём введённым значениям.
Как пользоваться калькулятором
Введите первый член \(a_1\), разность прогрессии \(d\) (положительную — для возрастающей последовательности, отрицательную — для убывающей) и номер члена \(n\), который вас интересует. Нажмите «Рассчитать», и калькулятор покажет значение \(a_n\), а также накопленную сумму \(S_n\) всех членов от \(a_1\) до \(a_n\).
Разбор формул
n-й член находят по формуле $$a_n = a_1 + (n - 1)d$$ после первого члена разность прибавляется \((n - 1)\) раз. Для частичной суммы используется приём, который ещё в школьные годы придумал Гаусс: $$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$$ Это среднее арифметическое первого и последнего членов, умноженное на их количество.
Пример решения
Пусть \(a_1 = 2\), \(d = 3\), а \(n = 10\). Тогда десятый член равен $$a_n = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$ Сумма первых 10 членов составит $$S_n = \frac{10}{2}\left(2 + 29\right) = 5 \times 31 = 155$$
Частые вопросы
Может ли \(d\) быть отрицательной? Да. Отрицательная разность даёт убывающую прогрессию, и формулы при этом работают точно так же.
Что означает \(S_n\)? Это сумма всех членов от \(a_1\) до \(a_n\) включительно — то есть частичная (конечная) сумма, а не бесконечный ряд.
Что будет при \(n = 1\)? Тогда \(a_n = a_1\) и \(S_n = a_1\), ведь член всего один.
Сравнение арифметических прогрессий в различных сценариях
Два ключевых результата арифметической прогрессии — это n-й член \(a_n = a_1 + (n-1)d\) и частичная сумма \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\). Таблица ниже применяет эти формулы к нескольким реалистичным наборам входных данных, включая положительную разность прогрессии, отрицательную (убывающую) и дробный шаг.
| Первый член \(a_1\) | Разность прогрессии \(d\) | Количество членов \(n\) | n-й член \(a_n\) | Сумма \(S_n\) | Предпросмотр последовательности |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 8 | 19 | 96 | 5, 7, 9, …, 19 |
| 10 | -3 | 6 | -5 | 15 | 10, 7, 4, …, -5 |
| 0 | 0.5 | 20 | 9.5 | 95 | 0, 0.5, 1, …, 9.5 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 | 100, 90, 80, …, 0 |
| 1 | 1 | 100 | 100 | 5050 | 1, 2, 3, …, 100 |
Обратите внимание, что отрицательное значение \(d\) производит убывающую последовательность, и как сумма может быть по-прежнему положительной, даже когда более поздние члены становятся отрицательными, если только ранние члены их перевешивают.
Ключевые термины и переменные
- Первый член \(a_1\)
- Начальное значение последовательности — значение в позиции \(n = 1\). Каждый следующий член строится путём многократного добавления разности прогрессии к нему.
- Разность прогрессии \(d\)
- Фиксированная величина, которая добавляется от одного члена к следующему: \(d = a_{n} - a_{n-1}\). Положительное значение \(d\) дает возрастающую последовательность, отрицательное \(d\) — убывающую, а \(d = 0\) — постоянную последовательность.
- n-й член \(a_n\)
- Значение члена в позиции \(n\), найденное непосредственно по формуле \(a_n = a_1 + (n-1)d\) без перечисления каждого члена между ними.
- Частичная сумма \(S_n\)
- Сумма первых \(n\) членов, \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\). Она сопоставляет первый и последний члены и умножает на количество пар.
- Позиция члена \(n\)
- Положительный целый индекс, указывающий, какой член вам нужен (1-й, 2-й, 3-й, …). Он также равен количеству членов, суммируемых в \(S_n\).
- Арифметическая прогрессия в сравнении с рядом
- Последовательность — это упорядоченный список членов (5, 7, 9, …); ряд — это то, что вы получаете, когда складываете эти члены вместе. \(a_n\) описывает последовательность, а \(S_n\) — значение соответствующего конечного ряда.
Как вычислить это вручную
Используйте эту процедуру, чтобы найти как n-й член, так и сумму из трёх входных данных \(a_1\), \(d\) и \(n\). Мы проведём пример \(a_1 = 5\), \(d = 2\), \(n = 8\) через каждый шаг.
- Определите \(a_1\), \(d\) и \(n\). Прочитайте первый член, постоянный шаг между членами и позицию, которая вам нужна. Здесь \(a_1 = 5\), \(d = 2\) и \(n = 8\).
- Вычислите n-й член. Подставьте в \(a_n = a_1 + (n-1)d\):
\(a_8 = 5 + (8 - 1)\times 2 = 5 + 7\times 2 = 5 + 14 = 19\). - Вычислите частичную сумму. Подставьте \(a_1\), \(a_n\) и \(n\) в \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\):
\(S_8 = \frac{8}{2}(5 + 19) = 4 \times 24 = 96\). - Проверьте результат. Перечисление членов даёт 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 — последний — это \(a_8 = 19\) и они в сумме дают 96, подтверждая \(S_8\).
Если вам нужна только сумма и вы уже предпочитаете работать с \(a_1\) и \(d\), объединённая форма \(S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)\) даёт тот же результат в одну строку: \(S_8 = \frac{8}{2}(2\times 5 + 7\times 2) = 4(10 + 14) = 96\).
