Калькулятор закона Бенфорда

Введите расчет

Первая цифра (1–9) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Размер выборки (необязательно, для ожидаемого количества)

Результатов

Probability leading digit is 1

30,103%

P(d) = log₁₀(1 + 1/d)

Вероятность (десятичная дробь)	0,30103
Ожидаемое количество в выборке	301,03

Что такое закон Бенфорда?

Закон Бенфорда (его ещё называют законом первой цифры) описывает неожиданное распределение первых цифр в самых разных реальных наборах данных — финансовых показателях, численности населения, физических константах и многом другом. Казалось бы, каждая цифра от 1 до 9 должна встречаться одинаково часто (примерно по 11,1%), но на деле преобладают меньшие цифры: единица стоит в начале числа примерно в 30,1% случаев, а девятка — лишь около 4,6%. Этот калькулятор выдаёт точную вероятность по закону Бенфорда для любой выбранной вами первой цифры.

Закон Бенфорда: первая цифра 1 встречается примерно в 30% случаев, а частота убывает к цифре 9.

Как пользоваться калькулятором

Выберите первую цифру от 1 до 9. При желании укажите размер выборки (число значений в вашем наборе данных) — и вы увидите, сколько записей должны начинаться с этой цифры, если данные подчиняются закону Бенфорда. Калькулятор покажет вероятность в процентах и в виде десятичной дроби, а также ожидаемое количество значений.

Разбор формулы

Вероятность того, что число начинается с цифры d, задаётся формулой

$$P(d) = \log_{10}\!\left(1 + \frac{1}{d}\right)$$

Поскольку логарифм растёт медленно, разница между соседними цифрами сокращается — отсюда и характерная нисходящая кривая распределения. Ожидаемое количество значений в наборе размером N вычисляется просто:

$$E(d) = N \times P(d)$$

Реклама

Вероятность каждой цифры равна ширине её полосы в логарифмическом масштабе.

Пример расчёта

Для цифры 1:

$$P(1) = \log_{10}\!\left(1 + \frac{1}{1}\right) = \log_{10}(2) \approx 0{,}30103$$

то есть около 30,1%. В наборе из 1000 значений примерно 301 из них должно начинаться с единицы. Для цифры 9:

$$P(9) = \log_{10}\!\left(1 + \frac{1}{9}\right) = \log_{10}\!\left(\frac{10}{9}\right) \approx 0{,}0458$$

или около 4,58% — это всего около 46 значений из 1000.

Реклама

Интерпретация ваших результатов

Калькулятор возвращает два числа для выбранной первой цифры \(d\): вероятность по закону Бенфорда \(P(d)=\log_{10}\!\left(1+\frac{1}{d}\right)\) и ожидаемое количество \(E = N \times P(d)\) для выборки размером \(N\). Например, при \(d=1\) вероятность составляет примерно 0,30103, поэтому в наборе данных из \(N=1000\) значений вы можете ожидать примерно 301 числа, начинающихся с цифры 1.

Соответствие в сравнении с отклонением

Когда наблюдаемое количество первой цифры близко к ожидаемому количеству \(E\), говорят, что данные согласуются с законом Бенфорда. Когда наблюдаемые значения заметно отличаются от \(E\) для цифр 1–9 — например, значительно слишком много значений, начинающихся с 7, 8 или 9, или почти равномерное распределение вместо крутого убывания \(P(1) > P(2) > \dots > P(9)\) — говорят, что набор данных отклоняется от ожидаемого распределения. Небольшое отклонение одной цифры обычно не примечательно; систематическая закономерность в нескольких цифрах более значима.

Роль тестирования согласия

Визуальная оценка разницы между наблюдаемым и ожидаемым количеством недостаточна, поскольку некоторые различия всегда возникают случайно. Формальный тест согласия — чаще всего критерий хи-квадрат — количественно оценивает, насколько необычна общая картина. Статистика хи-квадрат суммирует нормированные квадраты разностей для всех девяти цифр:

$$\chi^2 = \sum_{d=1}^{9} \frac{(O_d - E_d)^2}{E_d}$$

где \(O_d\) — наблюдаемое количество, а \(E_d = N \times P(d)\) — ожидаемое по закону Бенфорда количество для цифры \(d\). Полученная статистика сравнивается с распределением хи-квадрат с 8 степенями свободы (девять цифр минус одна, так как количества должны суммироваться в \(N\)) для получения p-значения. Малое p-значение указывает на то, что наблюдаемое распределение первых цифр вряд ли могло возникнуть, если бы данные действительно следовали закону Бенфорда. Также используются связанные показатели, такие как среднее абсолютное отклонение (MAD), для оценки соответствия.

Отклонение — это сигнал, а не доказательство

Статистически значимое отклонение от закона Бенфорда указывает только на то, что картина первых цифр необычна и может потребовать дополнительного рассмотрения. Это не доказательство ошибки, манипуляции или мошенничества самого по себе. Многие обычные, совершенно законные процессы производят распределения, не соответствующие закону Бенфорда, и наоборот, данные могут быть сфабрикованы, но при этом соответствовать ему. Рассматривайте отклонение как повод более внимательно изучить, как были получены данные, а не как вывод.

Предостережения, касающиеся размера и диапазона набора данных

Закон Бенфорда — это асимптотическая, приблизительная закономерность, и ожидаемые количества \(E_d\) имеют смысл только при надлежащих условиях:

• Размер выборки. В малых выборках ожидаемые значения для более высоких цифр становятся ничтожно малы, естественная вариация выборки велика, и аппроксимация хи-квадрат ухудшается; результаты из несколько десятков значений ненадежны.
• Диапазон и разброс. Закон подходит для данных, охватывающих несколько порядков величины и возникающих из мультипликативных или естественно разнообразных процессов. Числа, ограниченные узким диапазоном, присвоенные значения (почтовые индексы, телефонные номера, идентификаторы), сокращенные или округленные значения или последовательности с наложенными минимумом и максимумом не обязательно должны следовать закону Бенфорда, даже если все хорошо.
• Только первая цифра. Этот калькулятор адресует закон первой цифры; тесты для первых двух цифр и другие расширенные тесты имеют свои собственные ожидаемые вероятности и часто более чувствительны.

Из-за этих предостережений соответствие или несоответствие всегда следует интерпретировать в контексте того, что представляют эти числа и сколько их у вас есть.

Часто задаваемые вопросы

Какие данные подчиняются закону Бенфорда? Данные, которые охватывают несколько порядков величин и возникают в результате естественного роста или мультипликативных процессов — бухгалтерские показатели, котировки акций, длины рек, численность населения городов, — как правило, хорошо соответствуют этому закону.

Почему его применяют в выявлении мошенничества? Настоящие числовые данные обычно следуют распределению Бенфорда, поэтому существенные отклонения в финансовой отчётности могут указывать на сфабрикованные или подтасованные цифры и стать поводом для аудита.

Работает ли это для любой позиции цифры? Этот калькулятор рассчитывает только первую (ведущую) цифру. У закона Бенфорда есть формулы и для второй, и для последующих цифр, но там распределение постепенно выравнивается и приближается к равномерному.