Что такое биномиальный коэффициент?
Биномиальный коэффициент, который записывают как C(n, k) или «из n по k», показывает, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества в n различных элементов, если порядок выбора не важен. Это одна из ключевых величин в комбинаторике и теории вероятностей: она встречается в треугольнике Паскаля, в биномиальной теореме (бином Ньютона) и в бесчисленном множестве задач на подсчёт.
Как пользоваться калькулятором
Введите общее число элементов n и количество тех, что нужно выбрать, — k. Калькулятор выдаст точное число сочетаний. Если k больше n, результат будет равен 0: нельзя выбрать больше элементов, чем есть на самом деле.
Разбор формулы
Классическое определение выглядит так:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,\left(n - k\right)!}$$
Поскольку факториалы растут чрезвычайно быстро, в этом калькуляторе используется эквивалентная мультипликативная форма: произведение множителей (n−k+i)/i при i = 1…min(k, n−k). Так промежуточные значения остаются небольшими, исключается переполнение, а итог получается тем же самым целым числом.
Пример с решением
Сколько комбинаций из 2 карт можно вытянуть из стопки в 5 карт? Считаем $$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,\cdot\,3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10.$$ Итого — 10 возможных пар.
Частые вопросы
Чему равно C(n, 0)? Всегда 1 — выбрать «ничего» можно ровно одним способом.
Верно ли, что C(n, k) равно C(n, n−k)? Да, биномиальный коэффициент симметричен: выбрать k элементов, которые оставляем, — это то же самое, что выбрать n−k элементов, которые отбрасываем.
Чем сочетания отличаются от размещений (перестановок)? В сочетаниях порядок не учитывается, а в размещениях — учитывается. Число размещений равно \(\binom{n}{k} \times k!\).
Справочник треугольника Паскаля (C(n,k) для малых n)
Каждая запись в таблице — это биномиальный коэффициент \(\binom{n}{k}\), расположенный так, что каждая строка \(n\) содержит значения для \(k = 0, 1, \dots, n\). Это образует треугольник Паскаля, где каждая внутренняя запись равна сумме двух записей, расположенных диагонально выше неё: \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\). Обратите внимание на симметрию в каждой строке, так как \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Например, \(\binom{10}{3} = \) 120, находится в строке 10, колонке \(k=3\). Сумма каждой записи в строке \(n\) равна \(2^n\) (например, строка 4: \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)).
Дополнительные решённые примеры
Следующие примеры применяют формулу \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\), используя мультипликативный метод \(\binom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\), благодаря которому огромные факториалы сокращаются до того, как потребуется большое умножение.
Пример 1: \(\binom{10}{3}\) — выбор 3 из 10
Сохраняем только топ 3 убывающих множителя из \(10!\) над \(3!\):
$$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$$Итак, существует 120 способов выбрать 3 предмета из 10, когда порядок не имеет значения.
Пример 2: \(\binom{6}{6}\) — выбор всех них
Выбрать все доступные предметы можно ровно одним способом. При \(k = n\), слагаемое \((n-k)!\) становится \(0! = 1\):
$$\binom{6}{6} = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{720}{720 \cdot 1} = 1$$Это подтверждает тождество \(\binom{n}{n} = \binom{n}{0} = \) 1.
Пример 3: \(\binom{49}{6}\) — лотерея 6 из 49
Количество различных неупорядоченных 6-числовых билетов из набора 49 использует мультипликативный метод с шестью наибольшими убывающими множителями:
$$\binom{49}{6} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!}$$Числитель равен \(49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = 10{,}068{,}347{,}520\), а знаменатель равен \(6! = 720\):
$$\binom{49}{6} = \frac{10{,}068{,}347{,}520}{720} = 13{,}983{,}816$$Таким образом, один билет имеет шанс 1 к 13,983,816 совпадения всех шести чисел. Если бы вместо этого вы хотели упорядоченные выборки, вы бы использовали перестановки \(P(49,6) = \binom{49}{6}\cdot 6!\) — но для типичной лотереи имеет значение только комбинация.
