Что такое биномиальный коэффициент?
Биномиальный коэффициент — он же C(n, k) или «число сочетаний из n по k» — показывает, сколькими различными способами можно выбрать k элементов из множества в n элементов, если порядок выбора не имеет значения. Это одна из ключевых величин в комбинаторике, которая встречается в теории вероятностей, статистике и алгебре — в том числе в биномиальной теореме, треугольнике Паскаля и биномиальном распределении вероятностей.
Как пользоваться калькулятором
Укажите общее число элементов n и количество, которое нужно выбрать, — k, после чего получите готовый результат. Калькулятор работает с целыми числами при условии 0 ≤ k ≤ n. Если k больше n, коэффициент равен 0: нельзя выбрать больше элементов, чем их есть на самом деле.
Разбор формулы
Основная формула выглядит так: $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\left(n - k\right)!}$$ где «!» обозначает факториал. Чтобы не вычислять огромные промежуточные факториалы, калькулятор использует эффективную мультипликативную форму: он перемножает числа от \((n - k + 1)\) до \(n\) и последовательно делит результат на 1, 2, …, \(k\). Кроме того, применяется свойство симметрии \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}\), которое позволяет сократить число шагов.
Пример с решением
Сколько комбинаций из 3 карт можно составить из колоды в 10 карт? $$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = \mathbf{120}$$ Итого получается 120 различных сочетаний.
Частые вопросы
Важен ли порядок выбора? Нет. Если порядок имеет значение (размещения), используйте формулу \(\frac{n!}{(n-k)!}\).
Чему равно C(n, 0)? Всегда 1 — есть ровно один способ не выбрать ничего.
Что будет, если k > n? Результат равен 0: нельзя выбрать больше элементов, чем доступно.
Таблица справки треугольника Паскаля
Каждый элемент в треугольнике Паскаля — это биномиальный коэффициент \(\binom{n}{k}\). Строка \(n\) содержит значения от \(k=0\) слева до \(k=n\) справа. Каждое внутреннее значение равно сумме двух значений прямо над ним, поэтому \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\). Строки ниже охватывают \(n=0\) до \(n=10\), позволяя вам прямо читать малые коэффициенты.
| n | k=0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Обратите внимание на симметрию: каждая строка читается одинаково вперёд и назад, потому что \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\). Сумма каждой строки \(n\) равна \(2^{n}\) — например, строка 10 в сумме дает \(2^{10}=1024\).
Дополнительные решённые примеры
Эти примеры показывают полную подстановку в \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\), так что каждый результат легко проверить.
Пример 1 — Покерные комбинации: C(52,5)
Сколько различных 5-карточных рук можно раздать из колоды из 52 карт? Порядок не имеет значения, поэтому мы используем биномиальный коэффициент.
$$\binom{52}{5}=\frac{52!}{5!\,(52-5)!}=\frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1}=\frac{311{,}875{,}200}{120}$$
Это дает 2 598 960 возможных 5-карточных покерных рук.
Пример 2 — Граничный случай C(6,6)
Выбрать все 6 элементов из набора из 6 можно ровно одним способом — оставить всё. Подставляя \(k=n=6\):
$$\binom{6}{6}=\frac{6!}{6!\,(6-6)!}=\frac{6!}{6!\cdot 0!}=\frac{720}{720\times 1}=1$$
Это опирается на соглашение \(0!=1\). Та же логика дает \(\binom{n}{0}=1\) для любого \(n\): существует ровно один способ выбрать ничего. Таким образом 1.
Пример 3 — Симметрия: C(8,2) = C(8,6)
Тождество \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) означает, что выбрать \(k\) элементов для включения эквивалентно выбору \(n-k\) элементов для исключения. Вычислите обе стороны для \(n=8\):
$$\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!\,6!}=\frac{8\times7}{2\times1}=\frac{56}{2}=28$$
$$\binom{8}{6}=\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2\times1}=28$$
Оба равны 28, подтверждая свойство симметрии. Выбрать 2 из 8 для сохранения — это то же количество, что выбрать 6 для отбрасывания.
