Hệ số nhị thức là gì?
Hệ số nhị thức, ký hiệu \(C(n, k)\) hay "tổ hợp chập k của n", cho biết số cách khác nhau để chọn ra k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử khi thứ tự chọn không quan trọng. Đây là một trong những đại lượng nền tảng nhất của tổ hợp, xuất hiện khắp nơi trong xác suất, thống kê và đại số — bao gồm định lý nhị thức, tam giác Pascal và phân phối xác suất nhị thức.
Cách dùng máy tính này
Nhập tổng số phần tử n và số phần tử bạn muốn chọn k, rồi xem ngay kết quả. Công cụ yêu cầu các số nguyên thỏa điều kiện \(0 \le k \le n\). Nếu k lớn hơn n thì hệ số bằng 0, vì bạn không thể chọn nhiều phần tử hơn số phần tử đang có.
Giải thích công thức
Công thức cơ bản là $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\left(n - k\right)!}$$ trong đó dấu "!" là giai thừa. Để tránh phải tính những giai thừa khổng lồ ở bước trung gian, máy tính này dùng dạng nhân hiệu quả: nó nhân lần lượt từ \((n - k + 1)\) đến n rồi chia dần cho 1 đến k, đồng thời tận dụng tính đối xứng \(C(n, k) = C(n, n - k)\) để rút ngắn vòng lặp.
Ví dụ minh họa
Có bao nhiêu cách rút ra bộ 3 lá bài từ bộ 10 lá? $$C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120$$ Vậy có 120 tổ hợp khác nhau.
Bảng Tham Khảo Tam Giác Pascal
Mỗi mục trong tam giác Pascal là một hệ số nhị thức \(\binom{n}{k}\). Hàng \(n\) liệt kê các giá trị từ \(k=0\) ở bên trái đến \(k=n\) ở bên phải. Mỗi giá trị ở bên trong bằng tổng hai giá trị trực tiếp ở phía trên, vì vậy \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\). Các hàng dưới đây bao gồm \(n=0\) đến \(n=10\), cho phép bạn đọc trực tiếp các hệ số nhỏ.
| n | k=0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Hãy chú ý đến tính đối xứng: mỗi hàng đọc giống nhau từ trái sang phải và ngược lại vì \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\). Tổng của mỗi hàng \(n\) bằng \(2^{n}\) — ví dụ, hàng 10 có tổng bằng \(2^{10}=1024\).
Các Ví Dụ Hoàn Chỉnh Khác
Các ví dụ này cho thấy phép thay thế đầy đủ vào \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) để dễ kiểm chứng từng kết quả.
Ví Dụ 1 — Các tay bài trong poker: C(52,5)
Có bao nhiêu tay bài gồm 5 lá khác nhau có thể được chia từ một bộ bài gồm 52 lá? Thứ tự không quan trọng, vì vậy chúng ta sử dụng hệ số nhị thức.
$$\binom{52}{5}=\frac{52!}{5!\,(52-5)!}=\frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1}=\frac{311{,}875{,}200}{120}$$
Điều này cho 2.598.960 tay bài poker gồm 5 lá có thể.
Ví Dụ 2 — Trường hợp ranh giới C(6,6)
Chọn tất cả 6 mục từ một tập hợp gồm 6 có thể được thực hiện theo đúng một cách — giữ lại mọi thứ. Thay thế \(k=n=6\):
$$\binom{6}{6}=\frac{6!}{6!\,(6-6)!}=\frac{6!}{6!\cdot 0!}=\frac{720}{720\times 1}=1$$
Điều này dựa trên quy ước \(0!=1\). Cùng một logic cho \(\binom{n}{0}=1\) với bất kỳ \(n\) nào: có đúng một cách để chọn không có gì. Vì vậy 1.
Ví Dụ 3 — Tính đối xứng: C(8,2) = C(8,6)
Đẳng thức \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) có nghĩa rằng chọn \(k\) mục để bao gồm tương đương với chọn \(n-k\) mục để loại bỏ. Tính cả hai vế cho \(n=8\):
$$\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!\,6!}=\frac{8\times7}{2\times1}=\frac{56}{2}=28$$
$$\binom{8}{6}=\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2\times1}=28$$
Cả hai đều bằng 28, xác nhận tính chất đối xứng. Chọn 2 để giữ từ 8 là cùng một đếm với chọn 6 để loại bỏ.
Câu hỏi thường gặp
Thứ tự có quan trọng không? Không. Nếu cần đếm các cách chọn có thứ tự (chỉnh hợp), hãy dùng công thức \(\frac{n!}{(n-k)!}\).
C(n, 0) bằng bao nhiêu? Luôn bằng 1 — chỉ có đúng một cách để không chọn phần tử nào.
Nếu k > n thì sao? Kết quả bằng 0; bạn không thể chọn nhiều phần tử hơn số phần tử sẵn có.
