이항계수란 무엇인가요?
이항계수는 \(C(n, k)\) 또는 'n개 중 k개 선택(n choose k)'으로 표기하며, n개의 원소로 이루어진 집합에서 순서를 고려하지 않고 k개를 뽑는 서로 다른 경우의 수를 나타냅니다. 조합론에서 가장 기본이 되는 개념 중 하나로, 이항정리, 파스칼의 삼각형, 이항분포 등 확률·통계·대수 전반에 두루 등장합니다.
계산기 사용법
전체 개수 n과 선택할 개수 k를 입력하면 결과가 바로 나옵니다. 입력값은 \(0 \le k \le n\) 조건을 만족하는 정수여야 합니다. 만약 k가 n보다 크면 존재하는 것보다 더 많이 뽑을 수 없으므로 이항계수는 0이 됩니다.
공식 풀이
기본 공식은 다음과 같으며,
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\left(n - k\right)!}$$여기서 '!'는 팩토리얼을 뜻합니다. 이 계산기는 중간 계산에서 지나치게 큰 팩토리얼 값이 생기는 것을 막기 위해 효율적인 곱셈 방식을 사용합니다. 즉 \((n - k + 1)\)부터 \(n\)까지 차례로 곱하고 1부터 \(k\)까지 차례로 나누며, 대칭 성질 \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}\)를 활용해 반복 횟수를 최소화합니다.
예제로 살펴보기
10장의 카드에서 3장으로 만들 수 있는 패는 몇 가지일까요?
$$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = \mathbf{120}$$따라서 서로 다른 조합은 모두 120가지입니다.
파스칼 삼각형 참고 표
파스칼 삼각형의 각 항목은 이항 계수 \(\binom{n}{k}\)이다. 행 \(n\)은 왼쪽의 \(k=0\)부터 오른쪽의 \(k=n\)까지의 값들을 나열한다. 모든 내부 값은 그 위의 두 값의 합과 같으므로 \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\)이다. 아래 행들은 \(n=0\)부터 \(n=10\)까지를 다루고 있으므로 작은 계수들을 직접 읽을 수 있다.
| n | k=0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
대칭성에 주목하자: 각 행은 앞뒤로 같게 읽혀진다. 이는 \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)이기 때문이다. 행 \(n\)의 모든 값의 합은 \(2^{n}\)과 같다 — 예를 들어, 행 10의 합은 \(2^{10}=1024\)이다.
추가 풀이 예제
이 예제들은 \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)에 완전히 대입한 것을 보여주므로 각 결과를 쉽게 검증할 수 있다.
예제 1 — 포커 핸드: C(52,5)
52장 덱에서 5장 핸드를 몇 가지로 나눌 수 있는가? 순서는 상관없으므로 이항 계수를 사용한다.
$$\binom{52}{5}=\frac{52!}{5!\,(52-5)!}=\frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1}=\frac{311{,}875{,}200}{120}$$
이는 2,598,960가지의 가능한 5장 포커 핸드를 제공한다.
예제 2 — 경계 경우 C(6,6)
6개 항목 집합에서 모든 6개를 선택하는 방법은 정확히 한 가지다 — 모두 유지하는 것이다. \(k=n=6\)을 대입하면:
$$\binom{6}{6}=\frac{6!}{6!\,(6-6)!}=\frac{6!}{6!\cdot 0!}=\frac{720}{720\times 1}=1$$
이는 \(0!=1\)이라는 규약에 의존한다. 같은 논리로 모든 \(n\)에 대해 \(\binom{n}{0}=1\)이다: 아무것도 선택하지 않는 방법은 정확히 한 가지다. 따라서 1이다.
예제 3 — 대칭성: C(8,2) = C(8,6)
\(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) 항등식은 \(k\)개 항목을 포함하도록 선택하는 것이 \(n-k\)개 항목을 빼도록 선택하는 것과 동등함을 의미한다. \(n=8\)일 때 양쪽을 계산하자:
$$\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!\,6!}=\frac{8\times7}{2\times1}=\frac{56}{2}=28$$
$$\binom{8}{6}=\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2\times1}=28$$
둘 다 28과 같으므로 대칭성 성질을 확인한다. 8개 중에서 유지할 2개를 선택하는 것은 제거할 6개를 선택하는 것과 같은 경우의 수다.
자주 묻는 질문
순서가 중요한가요? 아닙니다. 순서를 따지는 선택(순열)에는 대신 \(\frac{n!}{(n-k)!}\) 공식을 사용하세요.
\(C(n, 0)\)은 얼마인가요? 항상 1입니다. 아무것도 고르지 않는 경우의 수는 정확히 한 가지뿐이기 때문입니다.
\(k > n\)이면 어떻게 되나요? 결과는 0입니다. 존재하는 개수보다 더 많이 뽑을 수는 없습니다.
