Bu Araç Ne İşe Yarar?
Bu İkinci Dereceden Çarpanlara Ayırma Aracı, \(ax^2 + bx + c\) biçimindeki herhangi bir ikinci dereceden ifadeyi alır ve onu iki terimlinin çarpımı olarak yeniden yazar: \(a(x - r_1)(x - r_2)\). Yalnızca "düzgün" tam sayılarla değil, her türlü gerçek katsayıyla çalışır; kökleri ikinci dereceden formülle hesaplar ve bunları kullanarak çarpanlara ayrılmış biçimi oluşturur. Ayrıca diskriminantı da gösterir; böylece ifadenin gerçek sayılar üzerinde çarpanlara ayrılıp ayrılamayacağını bir bakışta anlayabilirsiniz.
Nasıl Kullanılır?
Üç katsayıyı girin: \(a\) (\(x^2\)'nin önündeki sayı), \(b\) (\(x\)'in önündeki sayı) ve \(c\) (sabit terim). Ardından hesapla düğmesine basın. Araç; çarpanlara ayrılmış iki terimli biçimi, her iki kökü ve \(b^2 - 4ac\) diskriminantını döndürür. Diskriminant negatifse ifadenin gerçek sayılarla çarpanlara ayrılışı yoktur; bu durumda araç bunun yerine eşlenik karmaşık kökleri gösterir.
Formülün Açıklaması
Kökler, ikinci dereceden formülden gelir:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$Karekökün içindeki ifade, yani \(b^2 - 4ac\), diskriminanttır. Pozitif olduğunda iki farklı gerçek kök vardır; sıfır olduğunda tek bir katlı kök bulunur (tam kare); negatif olduğunda ise kökler karmaşıktır. \(r_1\) ve \(r_2\) kökleri bilindiğinde, başlangıçtaki ifade \(a(x - r_1)(x - r_2)\)'ye eşittir; çünkü bu çarpımı açtığınızda aynı katsayılar yeniden ortaya çıkar.
Çözümlü Örnek
\(x^2 - 5x + 6\) ifadesini çarpanlara ayıralım. Burada \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)'dır. Diskriminant:
$$(-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$Kökler:
$$\frac{5 \pm 1}{2} = 3 \text{ ve } 2$$Buradan \(x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)\) elde edilir. Çarparak doğrulayabilirsiniz: \(x^2 - 2x - 3x + 6 = x^2 - 5x + 6\). ✓
Sık Sorulan Sorular
\(a = 0\) olursa ne olur? O zaman ifade ikinci dereceden değil, birinci dereceden (doğrusal) olur ve iki terimlinin çarpımı biçiminde çarpanlara ayrılamaz; araç bu durumu sizin için işaretler.
Negatif diskriminant ne anlama gelir? İfadenin gerçek kökü yoktur, dolayısıyla gerçek sayılarla çarpanlara ayrılamaz; kökler \(p \pm qi\) biçiminde eşlenik bir karmaşık çifttir.
Kökler kesir ya da ondalık sayı olabilir mi? Evet. Çarpanlar tam sayı olmasa bile, gösterilen \(a(x - r_1)(x - r_2)\) biçimi verilen katsayılar için tam olarak doğrudur.
