什麼是二項分布機率計算器？
這個計算器可以算出在 n 次獨立試驗中，恰好出現 k 次成功的機率，其中每一次試驗的成功機率 p 都相同。像是固定次數的擲硬幣、計算一批產品中的瑕疵品數量，或統計球員罰球命中幾次，這些情境都符合二項分布的特性。
如何使用
輸入試驗次數（n）、你想觀察的成功次數（k），以及單次試驗的成功機率（p，介於 0 到 1 之間）。計算器會回傳恰好出現 k 次成功的精確機率 \(P(X = k)\)、兩個累積機率 \(P(X \le k)\) 與 \(P(X \ge k)\)，以及此分布的平均數和標準差。
公式解析
二項分布機率公式如下：
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{\,k} \, (1 - p)^{\,n - k}$$
其中 \(C(n,k)\) 是二項式係數（也就是在 n 次試驗中安排 k 次成功的所有組合數），\(p^{k}\) 代表這 k 次成功的機率，而 \((1 - p)^{\,n - k}\) 則是剩下 n − k 次失敗的機率。此分布的平均數為 \(n \cdot p\)，標準差為 \(\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\)。
實際範例
假設你擲一枚公正硬幣 10 次（n = 10，p = 0.5），想知道恰好出現 3 次正面的機率（k = 3）。由於 \(C(10,3) = 120\)，因此 $$P = 120 \cdot 0.5^{3} \cdot 0.5^{7} = 120 \cdot 0.0009765625 = 0.1171875$$ 0.1171875，大約是 11.7%。
更多作業範例
每個範例都使用二項機率公式 \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\)，其中 \(n\) 是獨立試驗的次數，\(p\) 是每次試驗的成功機率，\(k\) 是感興趣的成功次數。
範例 1 — 不良品，P(X ≤ 2)
某批貨物的不良率為 \(p = 0.05\)。在隨機抽樣 \(n = 20\) 個物品中，至多 2 個不良的機率是多少？我們需要 \(P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2)\)。
- \(P(0) = \binom{20}{0}(0.05)^0(0.95)^{20} = 1 \cdot 1 \cdot 0.358486 = 0.358486\)
- \(P(1) = \binom{20}{1}(0.05)^1(0.95)^{19} = 20 \cdot 0.05 \cdot 0.377354 = 0.377354\)
- \(P(2) = \binom{20}{2}(0.05)^2(0.95)^{18} = 190 \cdot 0.0025 \cdot 0.397214 = 0.188677\)
注意 \(\binom{20}{2} = 190\)。將三項相加：
$$P(X \le 2) = 0.358486 + 0.377354 + 0.188677 = 0.924516$$因此，恰好有 2 個不良品的機率約為 0.188677，而 2 個或更少不良品的機率約為 92.5%。該分佈的平均數為 \(\mu = np = 20 \cdot 0.05 = 1\) 個不良品，標準差為 \(\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0.05 \cdot 0.95} = \sqrt{0.95} \approx 0.9747\)。
範例 2 — 罰球，P(X ≥ 4)
某球員的罰球成功機率為 \(p = 0.8\)，投籃 \(n = 5\) 次。投中至少 4 次的機率是多少？我們需要 \(P(X \ge 4) = P(4) + P(5)\)。
- \(P(4) = \binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096\)
- \(P(5) = \binom{5}{5}(0.8)^5(0.2)^0 = 1 \cdot 0.32768 \cdot 1 = 0.32768\)
此處 \(\binom{5}{4} = 5\) 且 \(\binom{5}{5} = 1\)。相加得：
$$P(X \ge 4) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728$$該球員在 5 次投籃中至少投中 4 次的機率約為 73.7%。投中的期望個數為 \(\mu = np = 5 \cdot 0.8 = 4\)，標準差為 \(\sigma = \sqrt{5 \cdot 0.8 \cdot 0.2} = \sqrt{0.8} \approx 0.8944\)。單一最可能的結果為 \(P(X = 4) = \)0.4096。
範例 3 — 調查回應，精確值
假設 30% 的人 \((p = 0.3)\) 認識某品牌，你調查了 \(n = 10\) 個人。恰好 3 人認識它的機率為：
$$P(X = 3) = \binom{10}{3}(0.3)^3(0.7)^7 = 120 \cdot 0.027 \cdot 0.0823543 = 0.266828$$其中 \(\binom{10}{3} = 120\)，結果為 \(P(X=3) \approx\) 0.266828。平均數為 \(\mu = np = 3\) 人認識，與最可能的計數相符，標準差為 \(\sigma = \sqrt{10 \cdot 0.3 \cdot 0.7} \approx 1.449\)。
重要術語和變量
| 符號/術語 | 意義 |
|---|---|
| \(n\) — 試驗次數 | 實驗的固定獨立重複總數（例如檢查的物品數、投籃次數）。必須為非負整數。 |
| \(k\) — 成功次數 | 你想求機率的特定成功結果計數，其中 \(0 \le k \le n\)。 |
| \(p\) — 成功機率 | 任何單一試驗的成功機率，每次試驗都相同。介於 0 至 1 之間的值。 |
| \(q = 1 - p\) — 失敗機率 | 單次試驗的失敗機率。由於每次試驗結果要麼成功要麼失敗，所以 \(p + q = 1\)。 |
| \(\binom{n}{k}\) — 二項係數 | 在 \(n\) 次試驗中選擇 \(k\) 次成功的不同方式數，讀作「n 選 k」：\(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)。 |
| \(P(X = k)\) — 精確機率 | 恰好得到 \(k\) 次成功的機率：\(\binom{n}{k} p^{k} q^{\,n-k}\)。 |
| \(P(X \le k)\) — 累積機率（至多） | 至多 \(k\) 次成功的機率，即和 \(P(0) + P(1) + \dots + P(k)\)。 |
| \(P(X \ge k)\) — 累積機率（至少） | 至少 \(k\) 次成功的機率，等於 \(1 - P(X \le k-1)\)。 |
| \(\mu = np\) — 平均數 | 在多次重複 \(n\) 次試驗實驗的情況下，成功次數的期望值（平均值）。 |
| \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) — 標準差 | 衡量成功次數圍繞平均數的變異程度。 |
解讀你的結果
二項計算器可以回答三個相關但不同的問題，重要的是將輸出結果與你實際提出的問題相匹配。
- 精確機率，\(P(X = k)\)：恰好得到 k 次成功的機率 — 不多也不少。用於「恰好有 3 個缺陷的機率是多少？」之類的問題。由於它確定了單一結果，此值通常小於下面的累積機率。
- 至多，\(P(X \le k)\)：至多 k 次成功的機率。它將 0, 1, …, k 的機率相加。用於「不超過」、「至多」或「小於或等於」的措詞。
- 至少，\(P(X \ge k)\)：至少 k 次成功的機率。一個方便的快速公式是 \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\)。用於「至少」、「不少於」或「最少」的措詞。
要注意邊界：「超過 \(k\)」表示 \(P(X \ge k+1)\)，「少於 \(k\)」表示 \(P(X \le k-1)\)。一個詞的改變會改變哪些項被相加。
平均數 \(\mu = np\) 是成功次數的期望值 — 如果你多次重複整個 \(n\) 次試驗實驗，長期的平均計數。對於 \(n = 20\) 個物品在 \(p = 0.05\) 的情況下，你平均預期 \(\mu = 1\) 個缺陷，儘管任何單一樣本可能有 0、1、2 或更多個。平均數也是（接近）最可能的單一結果，所以比較你的 \(k\) 與 \(np\) 會告訴你是在問一個典型結果還是不尋常的結果。
標準差 \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) 描述了結果圍繞平均數的分佈範圍。大多數結果落在 \(np\) 的大約一至兩個標準差範圍內。當 \(k\) 偏離平均數幾個標準差時，相應的機率很小，這正是為什麼「尾部」事件感覺令人驚訝。當 \(n\) 很大且 \(p\) 不接近 0 或 1 時，二項分佈近似於具有相同平均數和標準差的常態分佈，允許對累積機率進行常態曲線近似。
這是幫助你讀懂輸出的一般統計資訊；在依賴結果之前，請始終確認你的情景符合二項分佈的假設（固定數量的獨立試驗、每次試驗的兩種結果和恆定的成功機率）。
常見問題
什麼情況下可以使用二項分布？當你有固定次數的獨立試驗，每次只有兩種結果（成功／失敗），且成功機率維持不變時，就適用二項分布。
\(P(X \ge k)\) 是什麼意思？它代表「至少」出現 k 次成功的機率，很適合用來回答「k 次（含）以上」這類問題。
p 可以大於 1 嗎？不行。機率值必須介於 0 到 1 之間，超出範圍的數值會被自動限制在這個區間內。
