這個組合計算機（nCr）可協助你計算：從一組互異物件中選出指定樣本數，且不考慮順序、不允許重複時，共有幾種選法。無論是機率、統計，還是各種排列與組合的計算題，都能輕鬆解決。
什麼是組合？
在組合數學中，組合是指從較大的集合中挑選元素，而不在意先後順序的選取方式。這一點正是它與排列不同之處——排列會把順序納入考量。
標準的組合公式如下：
$$C(n, r) = \binom{\text{n}}{\text{r}} = \frac{\text{n}!}{\text{r}!\,\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$其中：
- n = 集合中的元素總數
- r = 樣本數，也就是要選取的元素個數
- ! = 階乘
本計算機計算的是不重複的組合，意思是同一個組合中，每個物件只會被選取一次。
什麼時候會用到？
- 從一大群人中抽出一組中獎者
- 從一副牌中抽牌，且不考慮抽牌順序
- 解決與排列、組合相關的統計問題
- 在只需要計算組合（而非排列數）的情況下求總數
使用方式
- 輸入元素總數（n）：填入整組物件的數量。
- 輸入樣本數（r）：設定你想選取的元素個數。
- 點擊「計算」：計算機會套用組合公式得出結果。
- 查看結果：你會看到在不考慮順序的前提下，從
n個元素中選出r個共有幾種方法。
範例計算
假設你要從 10 個元素中選出 3 個：
$$n = 10, \quad r = 3$$ $$10C3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$因此，從 10 個元素中選出 3 個，共有 120 種組合。
常見問題
1. 組合與排列有什麼差別？
當順序不重要時使用組合；當順序很重要時則使用排列。舉例來說，挑選團隊成員屬於組合，而分派各人不同任務則屬於排列。
2. 可以計算「可重複」的組合嗎？
本計算機是專為不重複的組合所設計。如果允許重複，必須改用另一個公式：n+r-1Cr。
3. 如果樣本數超過元素總數會怎樣？
你無法選取超過集合中現有的元素數量。當 r > n 時，這個組合在數學上是沒有定義的。
常見數值的 nCr 參考表
下表給出 \(C(n, r)\) 對於 \(n\) 的小值（從 1 到 10）和 \(r\) 的每一個有效選擇（從 0 到 \(n\)）。這是著名的 帕斯卡三角形：每個內部值等於其上方對角線上兩個值的和，每一行都是對稱的，因為 \(C(n, r) = C(n, n-r)\)。在行 \(n\) 與列 \(r\) 相交處讀取該值。
| n \ r | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
注意 \(C(n, 0) = C(n, n) = 1\)（恰好有一種方式選擇任何東西都不選，以及一種方式選擇全部）並且 \(C(n, 1) = n\)（有 \(n\) 種方式來選擇單一項目）。
更多實例演算
每個例子直接將值代入組合公式 \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)，其中順序無關緊要。
-
撲克牌手牌—52 選 5。 標準牌組有 52 張牌，一手撲克牌是 5 張牌不顧順序地抽出：
$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,(52-5)!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311{,}875{,}200}{120}$$得出 2,598,960 種不同的五張牌手牌。
-
選擇全部—6 選 6。 當你必須選擇每一項時，只有一個可能的組合：
$$C(6, 6) = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{6!}{6! \times 0!} = \frac{720}{720 \times 1} = 1$$這使用 \(0! = 1\) 的約定。所以 \(C(6, 6) = \) 1。
-
選擇無—8 選 0。 恰好有一種方式從一個集合中選擇任何東西都不選（空的選擇）：
$$C(8, 0) = \frac{8!}{0!\,(8-0)!} = \frac{8!}{1 \times 8!} = 1$$因此 \(C(8, 0) = \) 1。
-
一個委員會—10 選 3。 從 10 名候選人中選擇一個 3 人委員會（位置不分）：
$$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6}$$
關鍵術語與定義
- 組合
- 從較大集合中選擇項目，其中 選擇的順序無關緊要。從 \(n\) 中選擇 \(r\) 個項目的組合數寫作 \(C(n, r)\)、\(\binom{n}{r}\) 或「n 選 r」。
- 排列
- 項目的 有序 排列。因為順序重要，排列總是至少與組合一樣多：\(P(n, r) = C(n, r) \times r!\)。例如，\{A, B\} 和 \{B, A\} 算作一個組合但兩個排列。
- n（集合大小）
- 可選擇的不同項目總數—整個集合的大小。在公式中它是 \(\binom{n}{r}\) 的上層數字。
- r（樣本大小）
- 你從集合中選擇的項目數。它必須滿足 \(0 \le r \le n\)。在公式中它是 \(\binom{n}{r}\) 的下層數字。
- 階乘 (!)
- 直到某個數字的所有正整數的乘積：\(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\)。根據定義 \(0! = 1\)。階乘遍佈組合公式。例如，\(5! = 120\)。
- 「順序無關緊要」
- 組合的定義特性：包含相同項目的兩個選擇無論以何種順序選擇都被視為相同。這是為什麼 \(C(n, r)\) 將有序計數 \(P(n, r)\) 除以 \(r!\) 來移除重複的排列。
不同情景中的nCr
相同的组合公式 \(C(n,r)=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\) 能解决许多日常计数问题。因为在组合中顺序不重要，nCr 回答的是"可以形成多少个不同的组"而不是"有多少个有序序列"。下表列举了几个实际案例，每个都使用此计算器计算。
| 情景 | n（总数） | r（选择数） | nCr | 现实应用场景 |
|---|---|---|---|---|
| 小规模配对 | 5 | 2 | 10 | 从5个人中选2个队友的方式数，或从5个选项中选2个配料的方式数。 |
| 委员会成员选择 | 10 | 3 | 120 | 从10人群体中抽取的不同的3人小委员会的数量。 |
| 6/49彩票 | 49 | 6 | 13,983,816 | 从49个数字中抽取6个的总可能方式——用一张彩票全部匹配6个数字的几率是这个数的1分之一。 |
| 扑克牌手 | 52 | 5 | 2,598,960 | 从标准52张扑克牌中抽取的不同的5张牌手（忽略顺序）的数量。 |
| 披萨配料 | 8 | 3 | 56 | 从菜单上的8种配料中选3种的方式数，其中选择的顺序无关紧要。 |
扑克牌情况的计算验证：\(C(52,5)=\dfrac{52!}{5!\,(52-5)!}=\dfrac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{311{,}875{,}200}{120}=2{,}598{,}960.\) 如果顺序确实重要，你应该改用排列 \(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\)，这会给出一个更大的数字。
