什么是 45-45-90 三角形？
45-45-90 三角形是一种特殊的直角三角形，三个内角分别为 45°、45° 和 90°。由于两个非直角的角相等，它同时也是一个等腰直角三角形——夹在直角两边的两条直角边长度完全相同。斜边是最长的一条边，与 90° 角相对。当你已知斜边长度时，这个计算器可以帮你求出每条直角边的长度。
如何使用本计算器
输入斜边的长度，单位随你选用（厘米、英寸、米都可以——结果会以相同的单位返回）。工具会立即算出每条直角边的长度，以及三角形的面积和周长。由于两条直角边完全相等，所以一个数值即可代表两条边。
公式详解
在 45-45-90 三角形中，三边的比例恒定为 \(1 : 1 : \sqrt{2}\)。如果直角边为 a，那么斜边就是 \(a\sqrt{2}\)。将公式变形，就能直接由斜边 c 求出直角边：
$$\text{直角边} = \dfrac{c}{\sqrt{2}}$$，对分母有理化之后也可以写成 $$\text{直角边} = \dfrac{c\sqrt{2}}{2}$$。此时面积为 $$A = \dfrac{\text{直角边}^2}{2}$$，周长为 \(2\cdot\text{直角边} + c\)。
实例演算
假设斜边为 10，则 $$\text{直角边} = \dfrac{10}{\sqrt{2}} \approx \dfrac{10}{1.41421} \approx 7.0711$$ 面积为 $$\dfrac{7.0711^2}{2} \approx \dfrac{50}{2} = 25$$ 周长为 $$2 \times 7.0711 + 10 \approx 24.1421$$
常见斜边值的直角边长度
在45-45-90的直角等腰三角形中，两条直角边相等，每条都可以通过斜边用\(\text{直角边} = \frac{c}{\sqrt{2}}\)求得。一旦直角边已知，面积为\(\frac{\text{直角边}^2}{2}\)，周长为\(2\,\text{直角边} + c\)。下表将这些公式应用于几个常见的斜边值，结果四舍五入至小数点后两位。
| 斜边 \(c\) | 直角边 \(= c/\sqrt{2}\) | 面积 \(= \text{直角边}^2/2\) | 周长 \(= 2\,\text{直角边} + c\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.71 | 0.25 | 2.41 |
| 2 | 1.41 | 1.00 | 4.83 |
| 5 | 3.54 | 6.25 | 12.07 |
| 10 | 7.07 | 25.00 | 24.14 |
| 14.14 | 10.00 | 50.00 | 34.14 |
| 20 | 14.14 | 100.00 | 48.28 |
| 100 | 70.71 | 2500.00 | 241.42 |
注意当斜边约为14.14（等于\(10\sqrt{2}\)）时，直角边恰好为10，这说明了\(\sqrt{2}\)因子是如何连接直角边与斜边的。每条直角边大约是斜边的70.7%，所以斜边加倍时，直角边也加倍，而面积则增加四倍。
常见问题
两条直角边真的相等吗？是的。因为两个锐角都是 45°，它们所对的两条边自然相等，所以这是一个等腰三角形。
为什么是除以 \(\sqrt{2}\)，而不是乘以 \(\sqrt{2}\)？斜边是最长的边，等于直角边乘以 \(\sqrt{2}\)。因此，要从斜边反推回直角边，就需要除以 \(\sqrt{2}\)。
单位会影响结果吗？不会。由于计算的是纯比例关系，所以你输入斜边时用什么单位，算出的直角边就是相同的单位。
