这个计算器能做什么
输入一组数字，本工具就会给出数学和统计学中三种经典的"平均数"：算术平均数、几何平均数和调和平均数，同时还会显示中位数、最小值和最大值。这些都是纯数学计算，与量纲无关，因此在任何场景下结果都完全一致，无需做任何单位换算。
使用方法
把数据输入或粘贴到输入框中，用逗号、空格或换行分隔均可——例如 4, 8, 16，也可以每行写一个数值。空白行和非数字内容会被自动忽略，\(n\) 表示有效数字的个数。你还可以选择显示的有效数字位数（这只影响结果的舍入方式，不会改变底层计算）。
公式详解
算术平均数是把所有数值相加后再除以 \(n\)。几何平均数是把所有数值相乘后开 \(n\) 次方；实际计算时采用 \(\exp\)(自然对数的均值) 的方式，因此只有当每个数值都为正数时才有效。调和平均数等于 \(n\) 除以各数值倒数之和，要求每个数值都不为零。中位数则是把数值从小到大排序后取中间那个（当 \(n\) 为偶数时，取中间两个数的平均值）。
$$\begin{gathered} A = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, \qquad G = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i}, \qquad H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \text{Data values} \\ n &= \text{count of values} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
计算实例
以数据 1、2、3、4、5（\(n = 5\)）为例：算术平均数 \(= 15/5 = 3\)；几何平均数 \(= 120^{1/5} \approx 2.605171085\)；调和平均数 \(= 5 / (1 + 0.5 + 0.333\ldots + 0.25 + 0.2) \approx 2.189781022\)；中位数 \(= 3\)；最小值 \(= 1\)；最大值 \(= 5\)。可以看到 \(2.1898 \le 2.6052 \le 3\)，这正好印证了"算术平均数 ≥ 几何平均数 ≥ 调和平均数"（AM-GM-HM 不等式）。
当均值产生分歧时：场景比较
三个古典均值仅当数据集中的每个值都相同时才重合。一旦数值分散开，算术平均数（AM）最高，调和平均数（HM）最低，几何平均数（GM）介于两者之间。分散越大，差距越大。下表显示了几个实际数据集，每个均值计算到小数点后4位。
| 数据集 | 特征 | 算术平均（A） | 几何平均（G） | 调和平均（H） | A − H 差距 |
|---|---|---|---|---|---|
| 5, 5, 5, 5 | 全部相等 | 5.0000 | 5.0000 | 5.0000 | 0.0000 |
| 2, 4, 6, 8 | 均匀分布 | 5.0000 | 4.4267 | 3.8400 | 1.1600 |
| 1.05, 1.10, 1.20 | 增长因子 | 1.1167 | 1.1146 | 1.1125 | 0.0042 |
| 1, 10, 100 | 高度偏斜 | 37.0000 | 10.0000 | 2.7027 | 34.2973 |
| 40, 60 | 两个速度（千米/小时） | 50.0000 | 48.9898 | 48.0000 | 2.0000 |
注意相等数值行：所有三个均值都恰好是5，差距为零。"1, 10, 100"行是相反的极端情况——这些值跨越两个数量级，所以算术平均数（37）被最大值主导，而调和平均数（≈2.70）则被拉向最小值。几何平均数（恰好为10）位于乘法尺度的中心。
选择正确的均值
每种均值回答不同的问题，使用错误的均值会产生误导性的"平均值"。选择取决于基础量如何结合。
- 算术平均数（A）——用于加法量，其中总数有意义：考试成绩、身高、温度、日常计数或美元金额。它是重复\(n\)次后与数据总和相同的值。
- 几何平均数（G）——用于乘法量、比率和复合增长：投资收益、人口或收入增长率、指数、以及任何以百分比形式随时间测量的变化。用几何平均数对增长因子（例如1.05、1.10、1.20）求平均，会得到产生相同累积结果的常数率——与复合年增长率背后的逻辑相同。
- 调和平均数（H）——在对相对于固定量定义的速率求平均时使用：相等距离上的平均速度、投资组合中的市盈率（P/E），或燃油效率。如果你以40千米/小时的速度驾驶一段相等的距离，然后以60千米/小时的速度驾驶另一段相等距离，你的平均速度是调和平均数48千米/小时，而不是算术平均数50千米/小时。
对于任何正数列表，均值始终满足不等式$$A \ge G \ge H，$$相等仅当每个值相同时成立。数据中的分散越大，这些差距越大——这就是为什么几何平均数是复合收益的保守选择，调和平均数是正确的（最低的）选择，当缓慢的速率应该获得更大权重时。
这是关于统计平均值的一般教育信息，不是专业财务建议。当数据涉及投资或业务决策时，请咨询合格的专业人士。
常见问题
为什么几何平均数显示为 N/A？ 当任意一个数值为负数时，乘积的实数 \(n\) 次方根没有定义，因此工具会对负数输入做出标记。如果其中有一个数为零，乘积（以及几何平均数）就会变成零。
为什么有零就算不出调和平均数？ 调和平均数要除以各数值倒数之和，而 \(1/0\) 趋于无穷大，因此只要有任意一个数值为零，调和平均数就无法定义。
我该用哪一种平均数？ 对于可累加的量（如总和类数据）用算术平均数；对于增长率或比率用几何平均数；对于速度等"率"的平均则用调和平均数。
