ما هي مساحة الدائرة؟
مساحة الدائرة هي مقدار الحيّز المحصور داخل حدودها. وتُحسب اعتمادًا على قياس واحد فقط، وهو نصف القطر (\(r\))، أي المسافة من المركز إلى الحافة. تعتمد هذه الحاسبة على القانون الهندسي الشهير \(A = \pi r^2\)، كما تعرض لك قطر الدائرة ومحيطها لتسهيل عملك.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل نصف قطر الدائرة بأي وحدة قياس تشاء (سنتيمتر أو إنش أو متر، وستظهر النتيجة بهذه الوحدة مربّعة)، فتعرض لك الحاسبة المساحة فورًا إلى جانب القطر (\(2r\)) والمحيط (\(2\pi r\)). وإذا كنت تعرف القطر فقط، فاقسمه على اثنين أولًا لتحصل على نصف القطر.
شرح القانون
الثابت \(\pi\) (باي) يساوي تقريبًا 3.14159. في القانون $$A = \pi r^2$$ يُربّع نصف القطر (أي يُضرب في نفسه) ثم يُضرب الناتج في \(\pi\). وبما أن نصف القطر مربّع، فإن مضاعفته تجعل المساحة أربعة أضعاف؛ فالدائرة التي نصف قطرها 4 تبلغ مساحتها أربعة أضعاف مساحة الدائرة التي نصف قطرها 2.
مثال محلول
لنفترض أن حديقة دائرية الشكل نصف قطرها 5 أمتار. عندئذٍ تكون المساحة $$A = \pi \times 5^2 = \pi \times 25 \approx 78.54 \text{ مترًا مربعًا}$$ أما قطرها فهو \(2 \times 5 = 10\) أمتار، ومحيطها \(2 \times \pi \times 5 \approx 31.42\) مترًا.
جدول مرجعي لمساحة الدائرة
يسرد الجدول أدناه قيم نصف القطر الشائعة مع قطرها المقابل \((d = 2r)\)، والمحيط \((C = 2\pi r)\)، والمساحة \((A = \pi r^2)\)، وجميعها محسوبة باستخدام \(\pi \approx 3.14159\) ومقربة إلى منزلتين عشريتين.
| نصف القطر (r) | القطر (d) | المحيط (C) | المساحة (A = πr²) |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 6.28 | 3.14 |
| 2 | 4 | 12.57 | 12.57 |
| 3 | 6 | 18.85 | 28.27 |
| 5 | 10 | 31.42 | 78.54 |
| 10 | 20 | 62.83 | 314.16 |
| 20 | 40 | 125.66 | 1256.64 |
| 50 | 100 | 314.16 | 7853.98 |
| 100 | 200 | 628.32 | 31415.93 |
جميع قيم المساحة تحمل وحدة مربعة لنصف القطر (على سبيل المثال، إذا كان نصف القطر بالسنتيمتر، فإن المساحة بالسنتيمتر المربع).
كيفية حساب المساحة يدويًا
يتم إيجاد مساحة الدائرة بالصيغة \(A = \pi r^2\). اتبع هذه الخطوات:
- حدد نصف القطر (r). قس أو اقرأ المسافة من مركز الدائرة إلى حافتها. إذا كنت تعرف فقط القطر \(d\)، فحوله أولاً: \(r = \dfrac{d}{2}\).
- ربّع نصف القطر. اضرب نصف القطر في نفسه: \(r \times r = r^2\). على سبيل المثال، نصف قطر قدره 7 يعطي \(7 \times 7 = 49\).
- اضرب في π. اضرب نصف القطر المربع في \(\pi \approx 3.14159\): \(A = 3.14159 \times 49 \approx 153.94\).
- أضف الوحدة المربعة. تحمل النتيجة وحدة نصف القطر مربعة — لنصف قطر بالسنتيمتر، المساحة هي 153.94 سم².
مثال عملي مع التعويض: بالنسبة إلى \(r = 7\)،
$$A = \pi r^2 = 3.14159 \times (7)^2 = 3.14159 \times 49 \approx 153.94\ \text{سم}^2$$
المصطلحات الأساسية
- نصف القطر (r)
- المسافة في خط مستقيم من مركز الدائرة إلى أي نقطة على حافتها. وهو المدخل الأساسي لصيغة المساحة \(A = \pi r^2\).
- القطر (d)
- المسافة عبر الدائرة من خلال مركزها — بالضبط ضعف نصف القطر: \(d = 2r\)، أو ما يعادله \(r = \dfrac{d}{2}\).
- المحيط (C)
- المسافة حول الدائرة (محيطها)، والمعطاة بـ \(C = 2\pi r = \pi d\).
- المساحة (A)
- كمية السطح المحاطة بالدائرة، معبّرة عنها بالوحدات المربعة، محسوبة كـ \(A = \pi r^2\).
- باي (π)
- الثابت الرياضي الذي يمثل نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، تقريبًا \(\pi \approx 3.14159\). يظهر في صيغ المحيط والمساحة على حد سواء.
الأسئلة الشائعة
ماذا أفعل إذا كنت أعرف القطر فقط؟ اقسم القطر على 2 لتحصل على نصف القطر، ثم استخدم الحاسبة.
ما هي وحدة قياس المساحة؟ تكون المساحة بمربع الوحدة التي استخدمتها لنصف القطر؛ فإذا أدخلت القياس بالسنتيمتر، حصلت على النتيجة بالسنتيمتر المربع.
لماذا يُربّع نصف القطر؟ لأن المساحة قياس ثنائي الأبعاد، لذا فهي تتناسب مع مربع القياس الطولي مثل نصف القطر.
