ما هو محوّل الأنظمة العددية؟
يغيّر محوّل الأنظمة العددية طريقة كتابة الرقم دون أن يمسّ قيمته الحقيقية. فالمبرمجون وأجهزة الحاسوب ينتقلون باستمرار بين النظام الثنائي (الأساس 2) والثماني (الأساس 8) والعشري (الأساس 10) والست عشري (الأساس 16)، غير أن هذه الأداة تدعم أي أساس من 2 إلى 36 باستخدام الأرقام من 0 إلى 9 ثم الحروف من A إلى Z.
طريقة الاستخدام
اكتب الرقم الذي تريد تحويله، ثم حدّد النظام المكتوب به حاليًا (من الأساس)، وحدّد النظام الذي تريد تحويله إليه (إلى الأساس). وللأنظمة الأكبر من 10 استخدم الحروف: A=10 وB=11 وصولًا إلى Z=35. كما تعرض الحاسبة القيمة العشرية البسيطة (الأساس 10) كي تتمكّن من التأكد من صحة الحساب.
شرح المعادلة
يتم التحويل على خطوتين. أولًا تُقرأ القيمة المُدخلة وتُحوّل إلى النظام العشري باستخدام القيمة المكانية: يُضرب كل رقم في الأساس المصدر مرفوعًا إلى أُس موضعه، ثم تُجمع كل النواتج. وبعد ذلك تُحوَّل القيمة العشرية إلى الأساس الهدف عبر القسمة المتكررة — اقسم على الأساس الهدف، وسجّل الباقي، ثم كرّر العملية مع ناتج القسمة، واقرأ البواقي بترتيب عكسي.
$$\text{Result} = \left( \sum_{i=0}^{k-1} d_i \cdot \text{From Base}^{\,i} \right)_{10} \longrightarrow \text{To Base}$$$$\begin{gathered} V_{10} = \sum_{i=0}^{k-1} d_i \cdot \text{From Base}^{\,i} \\[1.5em] \text{Result} = \left( V_{10} \right)_{\text{To Base}} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} d_i &= \text{digit } i \text{ of } \text{Number} \\ k &= \text{number of digits} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
مثال محلول
لنحوّل العدد الثنائي 1010 إلى النظام العشري. مجموع القيم المكانية: $$1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 0\cdot2^0 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10$$ وفي الاتجاه المعاكس، لتحويل العدد 255 من العشري إلى الست عشري: \(255 \div 16 = 15\) والباقي 15 (F)، ثم \(15 \div 16 = 0\) والباقي 15 (F)، فتكون النتيجة FF.
أنظمة الأرقام الشائعة ومجموعات أرقامها
نظام الأرقام (أو الأساس) يحدد عدد رموز الأرقام المميزة المتاحة والوزن الذي يحمله كل موضع. يلخص الجدول أدناه أكثر الأنظمة استخدامًا والتي يتعامل معها المحول، جنبًا إلى جنب مع الرموز التي تستخدمها وحالات الاستخدام النموذجية لكل منها.
| الأساس | الاسم | مجموعة الأرقام | حالة الاستخدام النموذجية |
|---|---|---|---|
| 2 | ثنائي | 0–1 | التمثيل الأصلي في الإلكترونيات الرقمية وذاكرة الكمبيوتر؛ كل بت إما مفعل أو معطل. |
| 8 | ثماني | 0–7 | تجميع مضغوط للنظام الثنائي في مجموعات من ثلاثة؛ أنماط الأذونات في Unix/Linux (على سبيل المثال 755). |
| 10 | عشري | 0–9 | الحسابات البشرية اليومية والعملات والقياسات والعد العام. |
| 16 | سادس عشر | 0–9، A–F | العرض المضغوط للبايتات وعناوين الذاكرة ورموز الألوان (على سبيل المثال #FF8800) والكود الآلي. |
| 36 | الأساس 36 | 0–9، A–Z | أقصى أساس باستخدام الأرقام بالإضافة إلى الأبجدية اللاتينية؛ معرّفات بيانات ألفا رقمية قصيرة وعناوين الويب المختصرة. |
جدول تحويل العشري–الثنائي–الثماني–السادس عشر
يعرض المرجع التالي القيم العشرية الشائعة جنبًا إلى جنب مع معادلاتها الثنائية (الأساس 2) والثمانية (الأساس 8) والسادسة عشر (الأساس 16). تتضمن الصفوف السفلية قوى اثنين المستديرة التي تحدد حدود البايت والكلمة الشائعة.
| عشري | ثنائي | ثماني | سادس عشر |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| 32 | 100000 | 40 | 20 |
| 64 | 1000000 | 100 | 40 |
| 128 | 10000000 | 200 | 80 |
| 255 | 11111111 | 377 | FF |
لاحظ كيف أن 255 (أكبر قيمة لبايت واحد) يساوي بالضبط ثمانية أرقام ثنائية 1 وحرفي F سادسين عشر — كل رقم سادس عشري يطابق بدقة أربعة بتات.
المصطلحات الرئيسية موضحة
- الأساس / الجذر
- عدد رموز الأرقام المميزة التي يستخدمها نظام الترقيم. الأساس 10 (العشري) يستخدم عشرة رموز (0–9)؛ الأساس 2 (الثنائي) يستخدم اثنين (0–1). "الجذر" هو المرادف الرياضي الرسمي للأساس.
- الترميز الموضعي
- نظام يعتمد على أن قيمة الرقم تعتمد على موضعه. كل موضع يحمل وزنًا يساوي الأساس مرفوع إلى قوة: في الأساس \(b\)، الرقم في الموضع \(i\) (العد من 0 على اليمين) يساهم بـ \(d_i \cdot b^{\,i}\).
- الرقم
- رمز واحد داخل رقم. تكون الأرقام الصحيحة محدودة بالأساس — الأساس 16 يسمح بـ 0–9 و A–F، حيث تمثل A–F القيم العشرية 10–15.
- الرقم الأكثر أهمية (MSD)
- الرقم الأيسر، الذي يحمل أكبر وزن موضعي وبالتالي له التأثير الأكبر على قيمة الرقم.
- الرقم الأقل أهمية (LSD)
- الرقم الأيمن، بوزن موضعي \(b^{0}=1\)؛ تغييره يغير القيمة بأقل مقدار.
- ثنائي وثماني وسادس عشر
- أنظمة أرقام من الأساس 2 و 8 و 16 على التوالي. يفضل استخدامها في الحوسبة لأن أنظمتها الأساسية هي قوى اثنين، لذا تتحول مجموعات البتات بنظافة: 3 بتات لكل رقم ثماني، 4 بتات لكل رقم سادس عشري.
- الحاصل والباقي
- نتائج قسمة الأعداد الصحيحة، المستخدمة للتحويل من العشري إلى أساس آخر: اقسم بشكل متكرر على الأساس المستهدف، مسجلاً كل باقي كرقم (الأقل أهمية أولاً) حتى يصل الحاصل إلى 0.
الأسئلة الشائعة
ما هو أقصى أساس ممكن؟ الأساس 36، لأن مجموعة الرموز القياسية من 0 إلى 9 إضافةً إلى A حتى Z توفّر 36 رمزًا.
هل تتعامل مع الأعداد السالبة؟ نعم — تُحفظ إشارة السالب في بداية الرقم وتظهر في الناتج.
هل يمكنها تحويل الكسور أو الأعداد العشرية؟ هذه النسخة تتعامل مع الأعداد الصحيحة فقط.
