حاسبة قسمة الأعداد الثنائية

أدخل الحساب

المقسوم (ثنائي)

المقسوم عليه (ثنائي)

نتائج

ناتج القسمة (ثنائي)

101

remainder 1

المقسوم (عشري)	١١
المقسوم عليه (عشري)	٢
ناتج القسمة (عشري)	٥
الباقي (عشري)	١

ما هي حاسبة قسمة الأعداد الثنائية؟

تقوم هذه الأداة بقسمة عدد ثنائي (بالأساس 2) على عدد ثنائي آخر، وتعرض لك ناتج القسمة والباقي بالنظام الثنائي والنظام العشري معًا. وبما أنّ القسمة الطويلة في النظام الثنائي كثيرة الأخطاء عند إجرائها يدويًا، فإنّ الحاسبة تحوّل مدخلاتك إلى النظام العشري، ثم تنفّذ القسمة الصحيحة، وتعيد تحويل النتائج إلى الأساس 2 نيابةً عنك.

كيفية الاستخدام

أدخل المقسوم (العدد الذي تتم قسمته) في الخانة الأولى، ثم أدخل المقسوم عليه في الخانة الثانية، مستخدمًا الرقمين 0 و1 فقط. اضغط على زر الحساب لتظهر لك نتيجة القسمة والباقي. لاحظ أنّ المقسوم عليه لا يمكن أن يساوي صفرًا، لأنّ القسمة على صفر غير معرّفة رياضيًا.

شرح المعادلة

إذا كان A وB هما العددان الثنائيان المُدخلان، فإنّ الحاسبة تحسب \(A_{10} = \text{parseBinary}(A)\) و \(B_{10} = \text{parseBinary}(B)\). يكون ناتج القسمة الصحيح هو \(Q = \left\lfloor A_{10} / B_{10} \right\rfloor\)، والباقي هو \(R = A_{10} \bmod B_{10}\). بعد ذلك يُعاد تحويل كلٍّ من \(Q\) و \(R\) إلى النظام الثنائي. وهذه الطريقة تحاكي تمامًا كيفية تنفيذ الحواسيب لعملية القسمة الصحيحة للأعداد غير المُوقَّعة.

$$\begin{gathered} \text{Dividend}_2 \div \text{Divisor}_2 = Q \;\text{remainder}\; R \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} Q &= \left\lfloor \frac{A}{B} \right\rfloor \\ R &= A \bmod B \\ A &= (\text{Dividend}_2)_{10} \\ B &= (\text{Divisor}_2)_{10} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

القسمة المطولة الثنائية تفصل الناتج إلى خارج وباقٍ.

مثال محلول

لنقسم \(1100_2\) على \(10_2\). بالنظام العشري، يكون \(1100_2 = 12\) و \(10_2 = 2\). إذًا \(12 \div 2 = 6\) والباقي 0. وبإعادة التحويل: \(6 = 110_2\) و \(0 = 0_2\). أي أنّ:

$$1100 \div 10 = \mathbf{110} \;\text{والباقي}\; \mathbf{0}$$

كل خطوة تقارن وتطرح وتنزّل البت التالي.

كيفية قسمة الأعداد الثنائية يدويًا

القسمة المطولة الثنائية تعمل بنفس طريقة القسمة المطولة العشرية، لكنها في الواقع أبسط: في كل خطوة يكون المقسوم عليه إما ينقسم إلى البتات الحالية (اكتب 1) أو لا (اكتب 0). لا توجد جداول ضرب لحفظها — أنت فقط تضرب المقسوم عليه في 0 أو 1.

الإجراء العام لحساب \(\text{المقسوم}_2 \div \text{المقسوم عليه}_2 = Q \;\text{R}\; R\) هو:

1. محاذاة من البت الأكثر أهمية. ابدأ بالبت الأيسر من المقسوم كقيمتك الحالية للعمل.
2. قارن القيمة الحالية للعمل بالمقسوم عليه. إذا كانت القيمة الحالية أكبر من أو تساوي المقسوم عليه، فإن المقسوم عليه "ينقسم".
3. اكتب بت الناتج. اكتب 1 أعلاه إذا انقسم، وإلا اكتب 0.
4. اطرح. إذا كتبت 1، اطرح المقسوم عليه من القيمة الحالية؛ الفرق يصبح القيمة الحالية الجديدة. إذا كتبت 0، تبقى القيمة الحالية دون تغيير.
5. أنزل البت التالي من المقسوم وألحقه بالقيمة الحالية.
6. كرر الخطوات 2–5 حتى يتم إنزال كل بت من المقسوم.
7. اقرأ النتيجة. البتات المجمعة في الأعلى تشكل الناتج \(Q\)؛ أي قيمة حالية متبقية هي الباقي \(R\).

مثال معمول: \(1011_2 \div 10_2\) (أي 11 ÷ 2 في النظام العشري).

1. أنزل البت الأول: القيمة الحالية = 1. هل \(1 \ge 10\)؟ لا → بت الناتج 0.
2. أنزل البت التالي: القيمة الحالية = 10. هل \(10 \ge 10\)؟ نعم → بت الناتج 1، اطرح: \(10 - 10 = 0\).
3. أنزل البت التالي: القيمة الحالية = 01 = 1. هل \(1 \ge 10\)؟ لا → بت الناتج 0.
4. أنزل البت الأخير: القيمة الحالية = 11. هل \(11 \ge 10\)؟ نعم → بت الناتج 1، اطرح: \(11 - 10 = 1\).
5. لا توجد بتات متبقية. الناتج = 0101 = 101، الباقي = 1.

التحقق في النظام العشري: \(11 \div 2 = 5\) الباقي \(1\)، و\(101_2 = 5\)، \(1_2 = 1\). ✓

أمثلة إضافية على القسمة الثنائية

يعرض كل مثال القسمة المطولة الثنائية إلى جانب التحقق العشري الخاص به، حيث تكون العلاقة دائمًا \(\text{المقسوم} = \text{المقسوم عليه}\times Q + R\).

مثال 1 — باقي غير صفر: \(1011_2 \div 10_2\)

1. المكافئات العشرية: \(1011_2 = 11\)، \(10_2 = 2\).
2. القسمة المطولة تعطي بتات الناتج 101 مع بت متبقي 1.
3. النتيجة: \(1011_2 \div 10_2 = 101_2 \;\text{R}\; 1_2\) → في النظام العشري \(11 \div 2 = 5\;\text{R}\;1\).
4. التحقق: \(2 \times 5 + 1 = 11\). ✓

مثال 2 — المقسوم عليه أكبر من المقسوم: \(100_2 \div 1000_2\)

1. المكافئات العشرية: \(100_2 = 4\)، \(1000_2 = 8\).
2. بما أن المقسوم عليه (8) أكبر من المقسوم (4)، فإنه لا ينقسم أبدًا، لذلك كل بت من الناتج هو 0.
3. النتيجة: \(100_2 \div 1000_2 = 0 \;\text{R}\; 100_2\) → في النظام العشري \(4 \div 8 = 0\;\text{R}\;4\).
4. التحقق: \(8 \times 0 + 4 = 4\). ✓ عندما يكون المقسوم أصغر من المقسوم عليه، يكون الناتج دائمًا 0 والباقي هو المقسوم نفسه.

مثال 3 — قسمة نظيفة مع التحقق: \(11110_2 \div 110_2\)

1. المكافئات العشرية: \(11110_2 = 30\)، \(110_2 = 6\).
2. أنزل البتات حتى يتم الوصول إلى 110 → ينقسم مرة واحدة؛ استمر في إنزال البتات، اطرح \(110\) في كل مرة ينقسم فيها.
3. النتيجة: \(11110_2 \div 110_2 = 101_2 \;\text{R}\; 0\) → في النظام العشري \(30 \div 6 = 5\;\text{R}\;0\).
4. تحقق من الناتج: \(101_2 = 5\)، وتحقق من \(6 \times 5 + 0 = 30\). ✓ لأن الباقي هو 0، فإن القسمة دقيقة.

يمكنك تأكيد أي من هذه التحويلات باستخدام محول ثنائي إلى عشري، وتأكيد الفحص النهائي بضرب الناتج والمقسوم عليه معًا.

المصطلحات الأساسية في القسمة الثنائية

المقسوم

الرقم الذي يتم قسمته — القيمة المكتوبة تحت قوس القسمة. في \(1011_2 \div 10_2\)، المقسوم هو \(1011_2\).

المقسوم عليه

الرقم الذي تقسم عليه. في \(1011_2 \div 10_2\)، المقسوم عليه هو \(10_2\). يجب ألا يكون المقسوم عليه صفرًا.

الناتج

نتيجة القسمة بالعدد الصحيح — عدد المرات التي ينقسم فيها المقسوم عليه إلى المقسوم. مكتوب فوق القوس، بت واحد في كل خطوة.

الباقي

المبلغ المتبقي بعد إزالة أكبر ناتج صحيح: \(R = \text{المقسوم} - \text{المقسوم عليه}\times Q\). وهو دائمًا أصغر من المقسوم عليه.

ثنائي (أساس-2)

نظام عددي يستخدم فقط الأرقام 0 و 1، حيث تكون كل قيمة مكان قوة من اثنين (\(1, 2, 4, 8, \dots\)) بدلاً من قوة من عشرة.

بت

رقم ثنائي واحد (0 أو 1) — اختصار لـ "رقم ثنائي".

LSB / MSB

البت الأقل أهمية هو البت الأيمن (مكان الآحاد)؛ البت الأكثر أهمية هو البت الأيسر (قيمة المكان الأعلى). تعالج القسمة المطولة الثنائية البتات من MSB باتجاه LSB.

القسمة الصحيحة / الأرضية

القسمة التي تحتفظ فقط بناتج الرقم الكامل وتتجاهل أي جزء كسري — بالضبط ما تنتجه القسمة المطولة الثنائية إلى جانب باقيها.

مودولو

العملية التي تعيد فقط الباقي من القسمة (غالبًا ما تُكتب mod أو %). بالنسبة إلى \(1011_2 \div 10_2\)، نتيجة المودولو هي \(1_2\).

الأسئلة الشائعة

هل يمكنني قسمة أعداد ثنائية كسرية؟ لا — تتعامل هذه الحاسبة مع الأعداد الثنائية الصحيحة غير المُوقَّعة فقط، وتعيد ناتج قسمة صحيحًا مع باقٍ.

ماذا لو كان المقسوم عليه أكبر من المقسوم؟ يكون ناتج القسمة 0 ويساوي الباقي المقسوم نفسه؛ فمثلًا \(10 \div 100\) يعطي ناتج قسمة 0 وباقيًا 10.

لماذا تُعرض القيم العشرية أيضًا؟ لأنّ رؤية المكافئ العشري تسهّل التحقق من صحة النتيجة وفهم عملية التحويل بوضوح.