¿Qué es la Calculadora de Arcos?
La Calculadora de Arcos resuelve la geometría de un arco circular (rebajado) a partir de dos medidas muy sencillas: la luz (la cuerda horizontal que cruza el hueco) y la flecha (la altura vertical desde la cuerda hasta el punto más alto de la curva). Con estos datos deduce el radio del círculo al que pertenece el arco, su diámetro, la longitud de la línea curva y el ángulo que el arco abarca en el centro de la circunferencia. Es una herramienta de geometría universal, muy práctica para albañiles, carpinteros, ebanistas, montadores de escenografías y cualquiera que tenga que trazar un hueco curvo o una plantilla.
Cómo usarla
Introduce la luz y la flecha en la misma unidad (centímetros, pulgadas, metros: el resultado se devuelve en esa misma unidad). Pulsa calcular. El recuadro principal muestra el radio; la tabla recoge la longitud del arco, el diámetro y el ángulo abarcado en grados. Para trazar la curva sobre el terreno, fija una cuerda con la longitud del radio calculado en el punto central (que queda flecha − radio por debajo del vértice; es decir, el centro puede situarse por debajo de la línea de arranque) y describe el arco girando.
La fórmula explicada
Para una cuerda de longitud s (luz) y una flecha h, el radio del círculo que la contiene es:
$$R = \frac{s^{2}}{8 \cdot h} + \frac{h}{2}$$
La distancia perpendicular desde el centro del círculo hasta la cuerda es \(d = R - h\). El semiángulo abarcado por la cuerda es \(\theta/2 = \operatorname{atan2}(s/2,\, d)\), de modo que el ángulo central completo es $$\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}\!\left(\frac{s}{2},\, R - h\right)$$ y la longitud del arco es \(L = R \cdot \theta\) (con \(\theta\) en radianes). El uso de atan2 mantiene el resultado correcto incluso cuando el arco supera el semicírculo.
Ejemplo resuelto
Un semicírculo perfecto tiene una luz de 10 y una flecha de 5. Entonces \(R = 100/40 + 2{,}5 = 2{,}5 + 2{,}5 = 5\). El centro queda sobre la cuerda (\(d = R - h = 0\)), así que \(\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}(5,\, 0) = 2 \cdot 90° = 180°\). La longitud del arco \(= R \cdot \theta = 5 \times \pi = 15{,}708\). Cada mitad mide 7,854.
Geometría de bóvedas en escenarios comunes de luz/flecha
Para una bóveda circular (segmentaria) la luz \(S\) (la cuerda horizontal a través de la abertura) y la flecha \(H\) (la altura desde la línea de arranque hasta la clave) determinan completamente su geometría. El radio se obtiene de \(R = \tfrac{S^2}{8H} + \tfrac{H}{2}\); a partir de ahí el ángulo central es \(\theta = 2\arctan\!\left(\tfrac{S/2}{\,R-H\,}\right)\) y la longitud del arco es \(L = R\theta\) (con \(\theta\) en radianes).
La tabla siguiente mantiene la luz fija en 1000 mm e incrementa la flecha, de modo que puedas ver cómo una bóveda más plana requiere un radio mucho mayor y un ángulo central más pequeño, mientras que una bóveda profunda se aproxima y luego supera un semicírculo.
| Tipo de bóveda | Luz S (mm) | Flecha H (mm) | Radio R (mm) | Diámetro (mm) | Ángulo central θ | Longitud del arco L (mm) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Bóveda segmentaria baja | 1000 | 150 | 908.3 | 1816.7 | 67.4° | 1068.6 |
| Bóveda segmentaria más plana | 1000 | 250 | 625.0 | 1250.0 | 106.3° | 1159.3 |
| Semicircular | 1000 | 500 | 500.0 | 1000.0 | 180.0° | 1570.8 |
| De herradura | 1000 | 600 | 508.3 | 1016.7 | 241.9° | 2146.4 |
Nótese que cuando \(H = S/2\) la bóveda es exactamente semicircular (\(R = S/2\), \(\theta = 180^\circ\)). Cuando la flecha supera la mitad de la luz la curva pasa a través del punto más ancho del círculo, produciendo la forma de herradura que se curva hacia adentro con un ángulo central mayor que \(180^\circ\).
Términos clave y variables
- Luz (S)
- La distancia horizontal libre a través de la abertura de la bóveda, medida entre los dos puntos de arranque. En la geometría del círculo es la cuerda del arco.
- Flecha (H)
- La altura vertical desde la línea de arranque hasta el punto más alto de la bóveda (la clave). La relación \(H/S\) describe lo plana o profunda que es la bóveda.
- Radio (R)
- El radio del círculo del que forma parte la curva de la bóveda, dado por \(R = S^2/(8H) + H/2\). El arco se traza trazando este radio desde el punto central.
- Diámetro
- El doble del radio, \(d = 2R\) — el ancho completo del círculo subyacente.
- Cuerda
- Una línea recta que une dos puntos del círculo. Para una bóveda segmentaria la luz es la cuerda que subtiene el arco.
- Longitud del arco (L)
- La longitud medida a lo largo de la intradós curvada (o cualquier arco concéntrico), igual a \(L = R\theta\) con el ángulo central \(\theta\) en radianes.
- Ángulo central (θ)
- El ángulo subtendido en el centro del círculo por el arco, \(\theta = 2\arctan\!\big(\tfrac{S/2}{R-H}\big)\). Es 180° para un semicírculo y mayor que 180° para una bóveda de herradura.
- Línea de arranque
- El nivel horizontal en el que la bóveda comienza a curvarse alejándose de sus apoyos verticales; la luz se mide a lo largo de esta línea.
- Vértice / Clave
- El punto más alto de la bóveda, donde se mide la flecha. La clave se encuentra directamente encima del punto medio de la luz.
- Bóveda segmentaria
- Una bóveda cuya curva es un segmento circular menor que un semicírculo (\(H < S/2\)), dando un perfil más plano y un radio mayor que la mitad de la luz.
- Bóveda semicircular
- Una bóveda que es exactamente media circunferencia, que ocurre cuando la flecha es igual a la mitad de la luz (\(H = S/2\)), de modo que \(R = S/2\) y \(\theta = 180^\circ\).
- Bóveda de herradura
- Una bóveda que continúa pasando el punto más ancho del círculo (\(H > S/2\)), curvándose hacia adentro en el arranque de modo que la abertura es más estrecha que el diámetro del círculo; su ángulo central supera 180°.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si la flecha es igual a la mitad de la luz? El arco es un semicírculo perfecto; el radio coincide con la flecha y el ángulo es de 180°.
¿Puede la flecha ser mayor que la mitad de la luz? Sí: el arco supera el semicírculo (un arco "de herradura") y el centro queda por encima de la cuerda; atan2 sigue devolviendo el ángulo correcto.
¿Qué unidades debo usar? Cualquiera, siempre que la luz y la flecha compartan la misma unidad; todos los resultados se expresan en esa unidad.
