¿Qué es una progresión aritmética?
Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término aumenta (o disminuye) en una cantidad fija llamada diferencia común, \(d\). Partiendo de un primer término \(a_1\), a cada término siguiente se le suma \(d\). Esta calculadora obtiene al instante el término n-ésimo (\(a_n\)) y la suma de los n primeros términos (\(S_n\)) a partir de solo tres datos.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el primer término \(a_1\), la diferencia común \(d\) (positiva para progresiones crecientes, negativa para decrecientes) y la posición del término \(n\) a la que quieres llegar. Pulsa calcular para ver el valor de \(a_n\) y la suma acumulada \(S_n\) de todos los términos desde \(a_1\) hasta \(a_n\).
La fórmula explicada
El término n-ésimo se obtiene con $$a_n = a_1 + (n - 1)d,$$ ya que la diferencia común se suma \((n - 1)\) veces a partir del primer término. La suma parcial usa el ingenioso truco de emparejamiento que descubrió Gauss: $$S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n),$$ es decir, la media del primer y el último término multiplicada por el número de términos.
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(a_1 = 2\), \(d = 3\) y \(n = 10\). El décimo término es $$a_n = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29.$$ La suma de los 10 primeros términos es $$S_n = \frac{10}{2} \times (2 + 29) = 5 \times 31 = 155.$$
Comparación de Sucesiones Aritméticas en Diferentes Escenarios
Los dos resultados clave de una sucesión aritmética son el término n-ésimo \(a_n = a_1 + (n-1)d\) y la suma parcial \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\). La tabla siguiente aplica estas fórmulas a varios conjuntos de datos realistas, incluyendo una diferencia común positiva, una negativa (decreciente) y un incremento fraccionario.
| Primer término \(a_1\) | Diferencia común \(d\) | Términos \(n\) | Término n-ésimo \(a_n\) | Suma \(S_n\) | Vista previa de la sucesión |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 8 | 19 | 96 | 5, 7, 9, …, 19 |
| 10 | -3 | 6 | -5 | 15 | 10, 7, 4, …, -5 |
| 0 | 0.5 | 20 | 9.5 | 95 | 0, 0.5, 1, …, 9.5 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 | 100, 90, 80, …, 0 |
| 1 | 1 | 100 | 100 | 5050 | 1, 2, 3, …, 100 |
Observa cómo un \(d\) negativo produce una sucesión decreciente, y cómo la suma sigue siendo positiva aunque los términos posteriores sean negativos, siempre que los términos iniciales los compensen.
Términos Clave y Variables
- Primer término \(a_1\)
- El valor inicial de la sucesión — el valor en la posición \(n = 1\). Cada uno de los demás términos se construye sumando repetidamente la diferencia común a él.
- Diferencia común \(d\)
- La cantidad fija sumada de un término al siguiente: \(d = a_{n} - a_{n-1}\). Un \(d\) positivo da una sucesión creciente, un \(d\) negativo una decreciente, y \(d = 0\) una sucesión constante.
- Término n-ésimo \(a_n\)
- El valor del término en la posición \(n\), encontrado directamente con \(a_n = a_1 + (n-1)d\) sin listar cada término intermedio.
- Suma parcial \(S_n\)
- La suma de los primeros \(n\) términos, \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\). Empareja el primer y último términos y multiplica por el número de pares.
- Posición del término \(n\)
- Un índice entero positivo que te indica qué término deseas (1.º, 2.º, 3.º, …). También equivale a cuántos términos se están sumando en \(S_n\).
- Sucesión aritmética vs. serie
- Una sucesión es la lista ordenada de términos (5, 7, 9, …); una serie es lo que obtienes cuando sumas esos términos. \(a_n\) describe la sucesión, mientras que \(S_n\) es el valor de la correspondiente serie finita.
Cómo Calcularlo a Mano
Utiliza este procedimiento para encontrar tanto el término n-ésimo como la suma a partir de las tres entradas \(a_1\), \(d\) y \(n\). Llevaremos el ejemplo \(a_1 = 5\), \(d = 2\), \(n = 8\) a través de cada paso.
- Identifica \(a_1\), \(d\) y \(n\). Lee el primer término, el paso constante entre términos y la posición que necesitas. Aquí \(a_1 = 5\), \(d = 2\) y \(n = 8\).
- Calcula el término n-ésimo. Sustituye en \(a_n = a_1 + (n-1)d\):
\(a_8 = 5 + (8 - 1)\times 2 = 5 + 7\times 2 = 5 + 14 = 19\). - Calcula la suma parcial. Sustituye \(a_1\), \(a_n\) y \(n\) en \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\):
\(S_8 = \frac{8}{2}(5 + 19) = 4 \times 24 = 96\). - Comprueba el resultado. Al listar los términos obtienes 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 — el último es \(a_8 = 19\) y suman 96, confirmando \(S_8\).
Si solo necesitas la suma y ya prefieres trabajar con \(a_1\) y \(d\), la forma combinada \(S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)\) da la misma respuesta en una línea: \(S_8 = \frac{8}{2}(2\times 5 + 7\times 2) = 4(10 + 14) = 96\).
Preguntas frecuentes
¿Puede \(d\) ser negativa? Sí. Una diferencia común negativa genera una progresión decreciente, y las fórmulas siguen funcionando exactamente igual.
¿Qué representa \(S_n\)? Es el total de todos los términos desde \(a_1\) hasta \(a_n\), ambos incluidos: una suma parcial (finita), no una serie infinita.
¿Y si \(n = 1\)? Entonces \(a_n = a_1\) y \(S_n = a_1\), porque solo hay un término.
