Esta Calculadora de Combinaciones (nCr) te permite calcular de cuántas maneras distintas puedes elegir una muestra a partir de un conjunto de objetos diferentes cuando el orden no importa y no se permiten repeticiones. Es perfecta para resolver problemas de combinaciones y permutaciones en probabilidad, estadística y mucho más.
¿Qué son las combinaciones?
En combinatoria, una combinación es una forma de seleccionar elementos de un conjunto mayor en la que el orden no tiene importancia. Esto la diferencia de las permutaciones, en las que el orden sí cuenta.
La fórmula de las combinaciones es:
$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$Donde:
- \(n\) = número total de elementos del conjunto
- \(r\) = tamaño de la muestra o número de elementos seleccionados
- \(!\) = factorial
Esta calculadora calcula combinaciones sin repetición, es decir, cada objeto se elige una sola vez en cada combinación.
¿Cuándo usar esta calculadora?
- Seleccionar un grupo de ganadores dentro de un conjunto más amplio
- Elegir cartas de una baraja cuando el orden no importa
- Resolver problemas estadísticos relacionados con combinaciones y permutaciones
- Determinar el número de agrupaciones posibles cuando solo necesitas combinaciones (y no permutaciones)
Cómo funciona
- Introduce el número de elementos (n): escribe el total de objetos del conjunto.
- Introduce el tamaño de la muestra (r): indica cuántos elementos quieres elegir.
- Pulsa Calcular: la calculadora aplica la fórmula de las combinaciones para obtener el resultado.
- Consulta el resultado: verás de cuántas maneras puedes elegir
relementos entrencuando el orden no importa.
Ejemplo de cálculo
Supongamos que quieres elegir 3 elementos de un conjunto de 10:
$$n = 10, \quad r = 3$$ $$10C3 = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$Por lo tanto, hay 120 combinaciones posibles de 3 elementos a partir de un conjunto de 10.
Preguntas frecuentes
1. ¿Cuál es la diferencia entre combinaciones y permutaciones?
Las combinaciones se usan cuando el orden no importa, mientras que las permutaciones se aplican cuando el orden sí cuenta. Por ejemplo, elegir a los integrantes de un equipo es una combinación, mientras que asignarles tareas concretas es una permutación.
2. ¿Puedo calcular combinaciones con repetición?
Esta calculadora está pensada para combinaciones sin repetición. Si se permiten repeticiones, debes usar otra fórmula: n+r-1Cr.
3. ¿Qué ocurre si el tamaño de la muestra supera el número total de elementos?
No puedes seleccionar más elementos de los que hay en el conjunto. Si r > n, la combinación no está definida matemáticamente.
Tabla de Referencia de nCr para Valores Comunes
La tabla a continuación proporciona \(C(n, r)\) para valores pequeños de \(n\) (del 1 al 10) en todas las opciones válidas de \(r\) (de 0 hasta \(n\)). Este es el famoso triángulo de Pascal: cada valor interior es igual a la suma de los dos valores diagonalmente encima de él, y cada fila es simétrica porque \(C(n, r) = C(n, n-r)\). Lea el valor donde su fila \(n\) se encuentra con su columna \(r\).
| n \ r | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Tenga en cuenta que \(C(n, 0) = C(n, n) = 1\) (hay exactamente una manera de no elegir nada, y una manera de elegir todo) y \(C(n, 1) = n\) (hay \(n\) formas de elegir un solo elemento).
Más Ejemplos Resueltos
Cada ejemplo sustituye los valores directamente en la fórmula de combinaciones \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\), donde el orden no importa.
-
Manos de póquer — 52 de 5. Una baraja estándar tiene 52 cartas y una mano de póquer consta de 5 cartas sacadas sin importar el orden:
$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,(52-5)!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311{,}875{,}200}{120}$$lo que da 2.598.960 manos distintas de cinco cartas.
-
Elegir todos ellos — 6 de 6. Cuando debes seleccionar cada elemento, solo hay un grupo posible:
$$C(6, 6) = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{6!}{6! \times 0!} = \frac{720}{720 \times 1} = 1$$Esto utiliza la convención de que \(0! = 1\). Entonces \(C(6, 6) = \) 1.
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No elegir nada — 8 de 0. Hay exactamente una forma de no seleccionar nada de un conjunto (la selección vacía):
$$C(8, 0) = \frac{8!}{0!\,(8-0)!} = \frac{8!}{1 \times 8!} = 1$$Por lo tanto \(C(8, 0) = \) 1.
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Un comité — 10 de 3. Seleccionar un comité de 3 personas de 10 candidatos (los puestos no se diferencian):
$$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6}$$lo que da 120 comités posibles. Si los roles fueran distintos (presidente, secretario, tesorero), el orden importaría y en cambio calcularías la permutación 720.
Términos Clave y Definiciones
- Combinación
- Una selección de elementos de un conjunto más grande donde el orden de selección no importa. El número de combinaciones de \(r\) elementos de \(n\) se escribe \(C(n, r)\), \(\binom{n}{r}\), o «n de r».
- Permutación
- Un arreglo ordenado de elementos. Dado que el orden importa, las permutaciones siempre son al menos tan numerosas como las combinaciones: \(P(n, r) = C(n, r) \times r!\). Por ejemplo, \{A, B\} y \{B, A\} cuentan como una combinación pero dos permutaciones.
- n (tamaño del conjunto)
- El número total de elementos distintos disponibles para elegir — el tamaño de todo el conjunto. En la fórmula es el número superior de \(\binom{n}{r}\).
- r (tamaño de la muestra)
- El número de elementos que estás seleccionando del conjunto. Debe cumplir \(0 \le r \le n\). En la fórmula es el número inferior de \(\binom{n}{r}\).
- Factorial (!)
- El producto de todos los enteros positivos hasta un número: \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\). Por definición \(0! = 1\). Los factoriales aparecen en toda la fórmula de combinaciones. Por ejemplo, \(5! = 120\).
- «El orden no importa»
- La propiedad definitoria de las combinaciones: dos selecciones que contienen los mismos elementos se consideran idénticas independientemente de la secuencia en la que fueron elegidas. Es por eso que \(C(n, r)\) divide el conteo ordenado \(P(n, r)\) entre \(r!\) para eliminar las permutaciones duplicadas.
nCr en diferentes escenarios
La misma fórmula de combinaciones, \(C(n,r)=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\), potencia muchos problemas cotidianos de conteo. Dado que el orden no importa en una combinación, nCr responde preguntas como "¿cuántos grupos distintos se pueden formar?" en lugar de "¿cuántas secuencias ordenadas existen?". La tabla a continuación trabaja varios casos realistas, cada uno calculado con esta calculadora.
| Escenario | n (total) | r (elegido) | nCr | Contexto del mundo real |
|---|---|---|---|---|
| Emparejamiento pequeño | 5 | 2 | 10 | Número de formas de elegir 2 compañeros de equipo de 5 personas, o 2 ingredientes de 5 opciones. |
| Selección de comité | 10 | 3 | 120 | Subcomités distintos de 3 miembros que se pueden extraer de un grupo de 10. |
| Lotería 6/49 | 49 | 6 | 13,983,816 | Total de extracciones posibles de 6 números de 49 — las probabilidades de acertar los seis en un boleto son 1 en este número. |
| Manos de póker | 52 | 5 | 2,598,960 | Número de manos distintas de 5 cartas repartidas de una baraja estándar de 52 cartas (ignorando el orden). |
| Ingredientes de pizza | 8 | 3 | 56 | Formas de elegir 3 ingredientes de un menú de 8, donde el orden elegido no importa. |
Verificación realizada para el caso de póker: \(C(52,5)=\dfrac{52!}{5!\,(52-5)!}=\dfrac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{311{,}875{,}200}{120}=2{,}598{,}960.\) Si el orden sí importara, usarías en su lugar permutaciones, \(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\), lo que daría un conteo mucho mayor.
