Qu'est-ce que le calculateur de valeur absolue ?
La valeur absolue d'un nombre correspond à sa distance par rapport à zéro sur la droite numérique, sans tenir compte du sens. Elle est toujours positive ou nulle. Ce calculateur prend le nombre que vous saisissez — positif, négatif, entier ou décimal — et renvoie sa valeur absolue, notée mathématiquement \(|x|\).
Comment l'utiliser
Tapez n'importe quel nombre dans le champ de saisie. Vous pouvez ajouter un signe moins pour les nombres négatifs et une virgule (ou un point) pour les décimales, par exemple -7,5 ou 12,34. Cliquez sur « Calculer » : l'outil affiche aussitôt \(|x|\) ainsi que la valeur d'origine, pour référence.
La formule expliquée
La définition est donnée par morceaux : si le nombre est nul ou positif, la valeur absolue est égale au nombre lui-même ; s'il est négatif, la valeur absolue correspond au nombre dont on a inversé le signe (multiplié par -1).
Formellement :
$$|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \ge 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$$Une expression équivalente est $$|x| = \sqrt{x^2}$$ car élever au carré supprime le signe et la racine carrée renvoie la racine positive.
Exemple détaillé
Supposons que \(x = -7{,}5\). Comme -7,5 est inférieur à 0, on applique le second cas : $$|x| = -(-7{,}5) = 7{,}5$$ La valeur absolue de -7,5 est donc 7,5. À l'inverse, si \(x = 7{,}5\), alors comme \(7{,}5 \ge 0\), on a directement \(|x| = 7{,}5\).
Foire aux questions
La valeur absolue peut-elle être négative ? Non. Par définition, le résultat est toujours nul ou positif.
Quelle est la valeur absolue de zéro ? \(|0| = 0\), car zéro se situe exactement à l'origine de la droite numérique.
Fonctionne-t-il avec les décimales et les grands nombres ? Oui. Vous pouvez saisir n'importe quel nombre réel, y compris des décimales et de grandes valeurs ; le calculateur renvoie simplement sa magnitude.
Autres exemples résolus
Chaque exemple applique la définition \( \left| x \right| = x \) quand \( x \ge 0 \) et \( \left| x \right| = -x \) quand \( x < 0 \). La valeur absolue est simplement la distance par rapport à zéro, donc la réponse n'est jamais négative.
Exemple 1 : Entier négatif, \(\left|-7\right|\)
- L'entrée est \( x = -7 \).
- Puisque \( -7 < 0 \), utilisez le deuxième cas : \( \left| x \right| = -x \).
- Substituez : \( \left|-7\right| = -(-7) = 7 \).
- Résultat : 7.
Exemple 2 : Valeur de zéro, \(\left|0\right|\)
- L'entrée est \( x = 0 \).
- Puisque \( 0 \ge 0 \), utilisez le premier cas : \( \left| x \right| = x \).
- Substituez : \( \left|0\right| = 0 \).
- Résultat : \( 0 \). Zéro est le seul nombre dont la valeur absolue est égale à elle-même et qui n'est ni positif ni négatif.
Exemple 3 : Décimal négatif, \(\left|-4.25\right|\)
- L'entrée est \( x = -4.25 \).
- Puisque \( -4.25 < 0 \), utilisez le deuxième cas : \( \left| x \right| = -x \).
- Substituez : \( \left|-4.25\right| = -(-4.25) = 4.25 \).
- Résultat : 4.25.
Exemple 4 : Expression à l'intérieur des barres, \(\left|3 - 8\right|\)
- Commencez par simplifier l'expression à l'intérieur des barres de valeur absolue : \( 3 - 8 = -5 \).
- Maintenant calculez la valeur absolue du résultat : \( \left|-5\right| \).
- Puisque \( -5 < 0 \), utilisez le deuxième cas : \( \left|-5\right| = -(-5) = 5 \).
- Résultat : 5. Évaluez toujours tout ce qui se trouve à l'intérieur des barres avant d'appliquer \( \left| \cdot \right| \).
Termes clés
- Valeur absolue
- La taille non-négative d'un nombre indépendamment de son signe, écrite \( \left| x \right| \). Par exemple, \( \left|-9\right| = 9 \) et \( \left|9\right| = 9 \).
- Magnitude
- La grandeur d'une quantité, en ignorant la direction ou le signe. Pour un seul nombre réel, la magnitude et la valeur absolue signifient la même chose.
- Droite numérique
- Une ligne droite sur laquelle chaque nombre réel a une position. La valeur absolue mesure la distance entre la position d'un nombre et zéro sur cette ligne.
- Fonction par morceaux
- Une fonction définie par différentes règles sur différents intervalles. La valeur absolue est par morceaux : elle est égale à \( x \) quand \( x \ge 0 \) et à \( -x \) quand \( x < 0 \).
- Non-négatif
- Un nombre qui est zéro ou positif (\( \ge 0 \)). Chaque valeur absolue est non-négative.
- Sommet
- Le seul point le plus bas du graphique en forme de V de \( y = \left| x \right| \), situé à l'origine \( (0, 0) \), où la fonction change de direction.
