À quoi sert ce calculateur
Cet outil détermine l'aire d'un triangle isocèle lorsque vous connaissez la longueur de sa base et celle de ses deux côtés égaux. Il vous donne également la hauteur du triangle (mesurée de la base jusqu'au sommet) ainsi que son périmètre, pour avoir une vision complète de la figure à partir de seulement deux mesures.
Comment l'utiliser
Saisissez la longueur de la base (b) et la longueur de l'un des côtés égaux (a) dans la même unité. Le calculateur affiche aussitôt l'aire en unités carrées, la hauteur en unités linéaires et le périmètre. Chacun des deux côtés égaux doit être plus long que la moitié de la base, faute de quoi aucun triangle valide n'existe.
La formule expliquée
Un triangle isocèle possède deux côtés égaux de longueur a et une base de longueur b. En traçant une perpendiculaire du sommet vers la base, on partage le triangle en deux triangles rectangles, chacun ayant pour hypoténuse a et pour base b/2. La hauteur vaut donc \(h = \sqrt{a^2 - (b/2)^2} = \frac{\sqrt{4a^2 - b^2}}{2}\). L'aire correspond à la moitié de la base multipliée par la hauteur, ce qui se simplifie en :
$$A = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}$$
Exemple résolu
Supposons que la base mesure 6 et que chaque côté égal mesure 5. On a alors \(4a^2 - b^2 = 4 \cdot 25 - 36 = 100 - 36 = 64\). La racine carrée de 64 vaut 8. L'aire est donc égale à $$A = \frac{6}{4} \cdot 8 = 1{,}5 \cdot 8 = 12 \text{ unités carrées}.$$ La hauteur vaut \(8/2 = 4\) et le périmètre vaut \(6 + 2 \cdot 5 = 16\).
Surface dans différents triangles isocèles
Un triangle isocèle a une base \(b\) et deux côtés égaux \(a\). Tracer une perpendiculaire de l'apex à la base la divise en deux triangles rectangles congruents, chacun avec l'hypoténuse \(a\) et une jambe horizontale de \(b/2\). La hauteur est donc
$$h = \sqrt{a^{2} - \left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{4a^{2} - b^{2}}$$et la surface en découle directement :
$$A = \frac{b}{4}\sqrt{4a^{2} - b^{2}}, \qquad P = 2a + b.$$Le tableau ci-dessous applique ces formules exactes à plusieurs paires base/côté. Chaque ligne nécessite \(a > b/2\) pour que le triangle puisse réellement se fermer.
| Base (b) | Côté (a) | Hauteur (h) | Surface (A) | Périmètre (P) |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 5 | 4 | 12 | 16 |
| 8 | 5 | 3 | 12 | 18 |
| 10 | 13 | 12 | 60 | 36 |
| 4 | 4 | ≈ 3,464 | ≈ 6,928 | 12 |
La dernière ligne (b=4, a=4) est aussi équilatérale, donc sa hauteur égale \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4 \approx 3,464\) et sa surface correspond à la valeur équilatérale d'environ 6,928.
FAQ
Que se passe-t-il si le côté est trop court ? Si \(4a^2 - b^2\) est nul ou négatif, les deux côtés ne peuvent pas se rejoindre au-dessus de la base : aucun triangle n'existe et l'aire est alors indiquée comme 0.
Quel côté dois-je saisir comme côté égal ? Indiquez la longueur de l'une des deux branches identiques. Dans un triangle isocèle, les deux branches ont la même longueur.
Dans quelle unité s'exprime le résultat ? L'aire est exprimée dans l'unité carrée correspondant à l'unité que vous avez saisie, tandis que la hauteur et le périmètre s'expriment dans cette même unité linéaire.
