Qu'est-ce que le coefficient binomial ?
Le coefficient binomial, noté \(C(n, k)\) ou « k parmi n », indique le nombre de façons distinctes de sélectionner k éléments dans un ensemble de n éléments lorsque l'ordre du tirage n'a pas d'importance. C'est l'une des notions fondamentales de la combinatoire, que l'on retrouve partout en probabilités, en statistiques et en algèbre — notamment dans le binôme de Newton, le triangle de Pascal et la loi binomiale.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre total d'éléments n, puis le nombre d'éléments à choisir k, et lisez directement le résultat. L'outil n'accepte que des nombres entiers vérifiant \(0 \le k \le n\). Si k est supérieur à n, le coefficient vaut 0 : on ne peut pas choisir plus d'éléments qu'il n'en existe.
La formule expliquée
La formule de définition est $$C(n, k) = \frac{n!}{k!\left(n - k\right)!}$$ où « ! » désigne la factorielle. Pour éviter de manipuler d'énormes factorielles intermédiaires, ce calculateur utilise la forme multiplicative, plus efficace : il multiplie les entiers de \((n - k + 1)\) jusqu'à n, puis divise progressivement par les entiers de 1 jusqu'à k. Il exploite aussi la symétrie \(C(n, k) = C(n, n - k)\) afin de raccourcir la boucle de calcul.
Exemple résolu
Combien de mains de 3 cartes peut-on former à partir d'un jeu de 10 cartes ? $$C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = \mathbf{120}$$ Il existe donc 120 combinaisons distinctes.
Tableau de référence du triangle de Pascal
Chaque entrée du triangle de Pascal est un coefficient binomial \(\binom{n}{k}\). La ligne \(n\) énumère les valeurs de \(k=0\) à gauche à \(k=n\) à droite. Chaque valeur intérieure est égale à la somme des deux valeurs directement au-dessus, donc \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\). Les lignes ci-dessous couvrent \(n=0\) à \(n=10\), ce qui vous permet de lire directement les petits coefficients.
| n | k=0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Remarquez la symétrie : chaque ligne se lit de la même façon vers l'avant et vers l'arrière car \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\). La somme de chaque ligne \(n\) est égale à \(2^{n}\) — par exemple, la ligne 10 donne une somme de \(2^{10}=1024\).
Autres exemples détaillés
Ces exemples montrent une substitution complète dans \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) pour que chaque résultat soit facile à vérifier.
Exemple 1 — Mains de poker : C(52,5)
Combien de mains distinctes de 5 cartes peut-on distribuer à partir d'un jeu de 52 cartes ? L'ordre n'a pas d'importance, donc nous utilisons le coefficient binomial.
$$\binom{52}{5}=\frac{52!}{5!\,(52-5)!}=\frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1}=\frac{311{,}875{,}200}{120}$$
Cela donne 2 598 960 mains de poker possibles de 5 cartes.
Exemple 2 — Le cas limite C(6,6)
Choisir les 6 éléments d'un ensemble de 6 peut être fait exactement d'une seule façon — tout garder. En substituant \(k=n=6\) :
$$\binom{6}{6}=\frac{6!}{6!\,(6-6)!}=\frac{6!}{6!\cdot 0!}=\frac{720}{720\times 1}=1$$
Cela repose sur la convention \(0!=1\). La même logique donne \(\binom{n}{0}=1\) pour tout \(n\) : il existe exactement une façon de ne rien choisir. Donc 1.
Exemple 3 — Symétrie : C(8,2) = C(8,6)
L'identité \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) signifie que choisir \(k\) éléments à inclure équivaut à choisir les \(n-k\) éléments à laisser de côté. Calculez les deux côtés pour \(n=8\) :
$$\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!\,6!}=\frac{8\times7}{2\times1}=\frac{56}{2}=28$$
$$\binom{8}{6}=\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2\times1}=28$$
Les deux sont égaux à 28, confirmant la propriété de symétrie. Choisir 2 à garder parmi 8 compte autant que choisir les 6 à rejeter.
FAQ
L'ordre a-t-il de l'importance ? Non. Pour des sélections ordonnées (les arrangements ou permutations), utilisez plutôt \(\frac{n!}{(n-k)!}\).
Que vaut \(C(n, 0)\) ? Toujours 1 : il n'existe qu'une seule façon de ne rien choisir.
Et si \(k > n\) ? Le résultat est 0 ; on ne peut pas choisir plus d'éléments qu'il n'en est disponible.
