À quoi sert le calculateur de probabilité binomiale ?
Cet outil détermine la probabilité d'obtenir exactement k succès au cours de n essais indépendants, lorsque chaque essai présente la même probabilité de succès p. De nombreuses situations suivent la loi binomiale : lancer une pièce un nombre fixe de fois, compter les pièces défectueuses dans un lot ou encore évaluer le nombre de lancers francs réussis par un joueur.
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre d'essais (\(n\)), le nombre de succès qui vous intéresse (\(k\)) et la probabilité de succès lors d'un seul essai (\(p\), comprise entre 0 et 1). Le calculateur affiche la probabilité exacte \(P(X = k)\), les deux probabilités cumulées \(P(X \le k)\) et \(P(X \ge k)\), ainsi que la moyenne et l'écart-type de la distribution.
La formule expliquée
La formule de la probabilité binomiale est la suivante :
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{\,k} \, (1 - p)^{\,n - k}$$Ici, \(C(n,k)\) désigne le coefficient binomial (le nombre de façons de répartir \(k\) succès parmi \(n\) essais), \(p^{k}\) correspond à la probabilité de ces \(k\) succès et \((1 - p)^{n - k}\) à la probabilité des \(n - k\) échecs restants. La moyenne de la distribution vaut \(n \cdot p\) et l'écart-type \(\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\).
Exemple concret
Imaginons que vous lanciez une pièce équilibrée 10 fois (\(n = 10\), \(p = 0{,}5\)) et que vous cherchiez la probabilité d'obtenir exactement 3 fois face (\(k = 3\)). Comme \(C(10,3) = 120\), on obtient $$P = 120 \cdot 0{,}5^{3} \cdot 0{,}5^{7} = 120 \cdot 0{,}0009765625 = \mathbf{0{,}1171875}$$ soit environ 11,7 %.
Plus d'exemples résolus
Chaque exemple utilise la formule de probabilité binomiale \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\), où \(n\) est le nombre d'essais indépendants, \(p\) est la probabilité de succès à chaque essai, et \(k\) est le nombre de succès d'intérêt.
Exemple 1 — Éléments défectueux, P(X ≤ 2)
Un envoi a un taux de défaut de \(p = 0,05\). Dans un échantillon aléatoire de \(n = 20\) éléments, quelle est la probabilité qu'au plus 2 soient défectueux ? Nous avons besoin de \(P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2)\).
- \(P(0) = \binom{20}{0}(0.05)^0(0.95)^{20} = 1 \cdot 1 \cdot 0.358486 = 0.358486\)
- \(P(1) = \binom{20}{1}(0.05)^1(0.95)^{19} = 20 \cdot 0.05 \cdot 0.377354 = 0.377354\)
- \(P(2) = \binom{20}{2}(0.05)^2(0.95)^{18} = 190 \cdot 0.0025 \cdot 0.397214 = 0.188677\)
Notez que \(\binom{20}{2} = 190\). En additionnant les trois termes :
$$P(X \le 2) = 0.358486 + 0.377354 + 0.188677 = 0.924516$$Il y a donc environ une chance de 0.188677 d'avoir exactement 2 éléments défectueux, et approximativement 92,5 % de chance d'en avoir 2 ou moins. La distribution a une moyenne \(\mu = np = 20 \cdot 0.05 = 1\) élément défectueux et un écart-type \(\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0.05 \cdot 0.95} = \sqrt{0.95} \approx 0.9747\).
Exemple 2 — Tirs libres, P(X ≥ 4)
Un joueur réussit les tirs libres avec une probabilité \(p = 0,8\) et en effectue \(n = 5\). Quelle est la probabilité d'en réussir au moins 4 ? Nous avons besoin de \(P(X \ge 4) = P(4) + P(5)\).
- \(P(4) = \binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096\)
- \(P(5) = \binom{5}{5}(0.8)^5(0.2)^0 = 1 \cdot 0.32768 \cdot 1 = 0.32768\)
Ici \(\binom{5}{4} = 5\) et \(\binom{5}{5} = 1\). En sommant :
$$P(X \ge 4) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728$$Le joueur réussit au moins 4 tirs sur 5 environ 73,7 % du temps. Le nombre attendu de tirs réussis est \(\mu = np = 5 \cdot 0.8 = 4\) avec un écart-type \(\sigma = \sqrt{5 \cdot 0.8 \cdot 0.2} = \sqrt{0.8} \approx 0.8944\). Le résultat le plus probable est \(P(X = 4) = \)0.4096.
Exemple 3 — Réponses d'enquête, valeur exacte
Supposons que 30 % des personnes \((p = 0,3)\) reconnaissent une marque, et vous interrogez \(n = 10\) personnes. La probabilité qu'exactement 3 la reconnaissent est :
$$P(X = 3) = \binom{10}{3}(0.3)^3(0.7)^7 = 120 \cdot 0.027 \cdot 0.0823543 = 0.266828$$Avec \(\binom{10}{3} = 120\), le résultat est \(P(X=3) \approx\) 0.266828. La moyenne est \(\mu = np = 3\) reconnaissances, correspondant au nombre le plus probable, avec \(\sigma = \sqrt{10 \cdot 0.3 \cdot 0.7} \approx 1.449\).
Termes clés et variables
| Symbole / Terme | Signification |
|---|---|
| \(n\) — nombre d'essais | Le nombre total fixe de répétitions indépendantes de l'expérience (p. ex. éléments inspectés, tirs effectués). Doit être un entier non négatif. |
| \(k\) — nombre de succès | Le compte spécifique d'issues réussies dont vous voulez connaître la probabilité, avec \(0 \le k \le n\). |
| \(p\) — probabilité de succès | La probabilité d'un succès à un seul essai, identique pour chaque essai. Une valeur entre 0 et 1. |
| \(q = 1 - p\) — probabilité d'échec | La probabilité d'un échec à un seul essai. Puisque chaque essai est soit un succès soit un échec, \(p + q = 1\). |
| \(\binom{n}{k}\) — coefficient binomial | Le nombre de façons distinctes de choisir \(k\) succès parmi \(n\) essais, lu « n parmi k » : \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). |
| \(P(X = k)\) — probabilité exacte | Probabilité d'obtenir exactement \(k\) succès : \(\binom{n}{k} p^{k} q^{\,n-k}\). |
| \(P(X \le k)\) — cumulative (au plus) | Probabilité de \(k\) succès ou moins, la somme \(P(0) + P(1) + \dots + P(k)\). |
| \(P(X \ge k)\) — cumulative (au moins) | Probabilité de \(k\) succès ou plus, égale à \(1 - P(X \le k-1)\). |
| \(\mu = np\) — moyenne | Le nombre attendu (moyen) de succès sur plusieurs répétitions de l'expérience avec \(n\) essais. |
| \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) — écart-type | Une mesure de la variation typique du nombre de succès autour de la moyenne. |
Interpréter votre résultat
La calculatrice binomiale peut répondre à trois questions connexes mais distinctes, et il est important de faire correspondre le résultat à la question que vous vous posez réellement.
- Probabilité exacte, \(P(X = k)\) : la chance d'obtenir précisément \(k\) succès — ni plus, ni moins. Utilisez-la pour des questions comme « quelle est la probabilité d'exactement 3 défauts ? » Puisqu'elle désigne un seul résultat, cette valeur est généralement plus petite que les probabilités cumulatives ci-dessous.
- Au plus, \(P(X \le k)\) : la chance de \(k\) succès ou moins. Elle additionne les probabilités de \(0, 1, \dots, k\). Utilisez-la pour les formulations « pas plus que », « au plus », ou « inférieur ou égal à ».
- Au moins, \(P(X \ge k)\) : la chance de \(k\) succès ou plus. Un raccourci pratique est \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\). Utilisez-la pour les formulations « au moins », « pas moins que », ou « minimum de ».
Faites attention à la limite : « plus de \(k\) » signifie \(P(X \ge k+1)\), et « moins de \(k\) » signifie \(P(X \le k-1)\). Un seul mot change le calcul des termes à additionner.
La moyenne \(\mu = np\) est le nombre attendu de succès — le compte moyen à long terme si vous répétez l'expérience entière avec \(n\) essais plusieurs fois. Pour \(n = 20\) éléments à \(p = 0,05\), vous vous attendriez à \(\mu = 1\) défaut en moyenne, même si un seul échantillon pourrait en avoir 0, 1, 2 ou plus. La moyenne est aussi (approximativement) le résultat unique le plus probable, donc comparer votre \(k\) à \(np\) vous indique si vous interrogez un résultat typique ou un résultat inhabituel.
L'écart-type \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) décrit la dispersion des résultats autour de la moyenne. La plupart des résultats se situent à peu près entre un et deux écarts-types de \(np\). Quand \(k\) se trouve à plusieurs écarts-types de la moyenne, la probabilité correspondante est faible, ce qui explique exactement pourquoi les événements « extrêmes » semblent surprenants. Quand \(n\) est grand et \(p\) n'est pas trop proche de 0 ou 1, la distribution binomiale est approximativement normale avec cette même moyenne et cet écart-type, permettant une approximation par courbe normale pour les probabilités cumulatives.
Ceci est une information statistique générale pour vous aider à lire le résultat ; confirmez toujours que votre scénario satisfait les hypothèses binomiales (un nombre fixe d'essais indépendants, deux résultats par essai, et une probabilité de succès constante) avant de vous fier au résultat.
Questions fréquentes
Quand peut-on utiliser la loi binomiale ? Lorsque l'on dispose d'un nombre fixe d'essais indépendants, présentant chacun deux issues possibles (succès/échec) et une probabilité de succès constante.
Que signifie \(P(X \ge k)\) ? C'est la probabilité d'obtenir au moins \(k\) succès — pratique pour répondre aux questions du type « \(k\) succès ou plus ».
\(p\) peut-il dépasser 1 ? Non. Une probabilité doit toujours être comprise entre 0 et 1 ; les valeurs en dehors de cet intervalle sont automatiquement ramenées à ces bornes.
