Ce que fait ce calculateur
Ce calculateur de factorisation du trinôme prend n'importe quelle expression de la forme \(ax^{2} + bx + c\) et la réécrit sous forme d'un produit de facteurs du premier degré : \(a(x - r_{1})(x - r_{2})\). Il fonctionne avec tous les coefficients réels — pas seulement avec des entiers « bien choisis » — en calculant les racines à l'aide de la formule du discriminant, puis en s'en servant pour construire la forme factorisée. Il affiche également le discriminant, ce qui vous permet de savoir d'un coup d'œil si le trinôme se factorise dans l'ensemble des nombres réels.
Mode d'emploi
Saisissez les trois coefficients : \(a\) (le nombre devant \(x^{2}\)), \(b\) (le nombre devant \(x\)) et \(c\) (le terme constant). Lancez le calcul. L'outil renvoie la forme factorisée, les deux racines et le discriminant \(b^{2} - 4ac\). Si le discriminant est négatif, le trinôme n'a pas de factorisation réelle ; le calculateur affiche alors les racines complexes conjuguées.
La formule expliquée
Les racines proviennent de la formule $$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$ La quantité sous la racine carrée, \(b^{2} - 4ac\), est le discriminant (souvent noté \(\Delta\) en France). Lorsqu'il est positif, il existe deux racines réelles distinctes ; lorsqu'il est nul, il existe une racine double (carré parfait) ; lorsqu'il est négatif, les racines sont complexes. Connaissant les racines \(r_{1}\) et \(r_{2}\), le trinôme initial est égal à \(a(x - r_{1})(x - r_{2})\), car le développement de ce produit redonne exactement les coefficients de départ.
Exemple détaillé
Factorisons \(x^{2} - 5x + 6\). Ici \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\). Le discriminant vaut $$(-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ Les racines sont $$\frac{5 \pm 1}{2} = 3 \text{ et } 2$$ On a donc \(x^{2} - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)\). Vérification par développement : \(x^{2} - 2x - 3x + 6 = x^{2} - 5x + 6\). ✓
FAQ
Que se passe-t-il si \(a = 0\) ? L'expression devient alors du premier degré, et non un trinôme ; elle ne peut pas être factorisée en deux facteurs du premier degré — le calculateur signale ce cas.
Que signifie un discriminant négatif ? Le trinôme n'a pas de racine réelle : il ne peut donc pas être factorisé avec des nombres réels. Les racines forment une paire complexe conjuguée \(p \pm qi\).
Les racines peuvent-elles être des fractions ou des décimaux ? Oui. Même lorsque les racines ne sont pas des nombres entiers, la forme factorisée affichée \(a(x - r_{1})(x - r_{2})\) reste exacte pour les coefficients donnés.
