arccos (इनवर्स कोसाइन) कैलकुलेटर क्या है?
आर्ककोसाइन, जिसे \(\arccos(x)\) या \(\cos^{-1}(x)\) लिखा जाता है, इस सवाल का जवाब देता है: "वह कौन-सा कोण है जिसका कोसाइन x के बराबर है?" चूँकि कोसाइन का मान हमेशा -1 और 1 के बीच ही रहता है, इसलिए इनपुट x भी इसी सीमा के अंदर होना चाहिए। यह कैलकुलेटर मुख्य कोण (principal angle) \(\theta\) को रेडियन और डिग्री दोनों में देता है, जहाँ \(\theta\) की सीमा \([0, \pi]\) रेडियन (यानी 0° से 180°) होती है।
इसका उपयोग कैसे करें
इनपुट बॉक्स में -1 और 1 के बीच कोई संख्या टाइप करें, और कैलकुलेटर \(\theta = \arccos(x)\) की गणना कर देगा। नतीजा सबसे पहले हाइलाइट किए गए बॉक्स में डिग्री में दिखता है, और उसके नीचे सटीक रेडियन मान दिया जाता है। \([-1, 1]\) से बाहर के मानों को नज़दीकी मान्य सीमा-बिंदु तक सीमित (clamp) कर दिया जाता है, क्योंकि कोसाइन इन सीमाओं से आगे नहीं जा सकता।
फ़ॉर्मूला समझें
संबंध है \(\theta = \arccos(x)\), जो \(x = \cos(\theta)\) का इनवर्स है। रेडियन में मिले उत्तर को डिग्री में बदलने के लिए उसे \(180/\pi\) से गुणा करें।
$$\theta = \arccos\left(\text{x}\right) \quad\Rightarrow\quad \theta_{\deg} = \arccos\left(\text{x}\right) \times \frac{180}{\pi}$$
उदाहरण के लिए, \(\arccos(0) = \pi/2\) रेडियन \(= 90°\), क्योंकि \(\cos(90°) = 0\) होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(x = 0.5\)। तब \(\theta = \arccos(0.5) = 1.047198\) रेडियन। इसे बदलने पर: $$1.047198 \times \frac{180}{\pi} \approx 60°$$ यह सही है, क्योंकि \(\cos(60°) = 0.5\) होता है।
सामान्य arccos मान
प्रतिलोम कोसाइन फलन \(\theta = \arccos(x)\) केवल \(-1 \le x \le 1\) की सीमा में इनपुट स्वीकार करता है और \([0, \pi]\) रेडियन में एक मुख्य कोण लौटाता है, समतुल्य रूप से \([0^\circ, 180^\circ]\)। नीचे दी गई तालिका त्रिकोणमिति के आधार पर उपयोग किए जाने वाले मानक संदर्भ मानों को सूचीबद्ध करती है, जिसमें कोण को \(\pi\) का सटीक अंश और डिग्री दोनों में दिखाया गया है।
| x | दशमलव x | arccos(x) (रेडियन) | arccos(x) (डिग्री) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.000 | \(0\) | 0° |
| \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 0.866 | \(\tfrac{\pi}{6}\) | 30° |
| \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | 0.707 | \(\tfrac{\pi}{4}\) | 45° |
| \(\tfrac{1}{2}\) | 0.500 | \(\tfrac{\pi}{3}\) | 60° |
| 0 | 0.000 | \(\tfrac{\pi}{2}\) | 90° |
| \(-\tfrac{1}{2}\) | -0.500 | \(\tfrac{2\pi}{3}\) | 120° |
| \(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | -0.707 | \(\tfrac{3\pi}{4}\) | 135° |
| \(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | -0.866 | \(\tfrac{5\pi}{6}\) | 150° |
| -1 | -1.000 | \(\pi\) | 180° |
समरूपता पर ध्यान दें: \(\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\)। उदाहरण के लिए, \(\arccos(-\tfrac{1}{2}) = \pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}\), जो तालिका में 60° और 120° जोड़ी की पुष्टि करता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
x का मान -1 और 1 के बीच ही क्यों होना चाहिए? कोसाइन फलन कभी भी इस सीमा से बाहर मान नहीं देता, इसलिए इसका इनवर्स भी केवल इसी सीमा में परिभाषित होता है।
उत्तर किस सीमा में आता है? arccos का मुख्य मान हमेशा 0 और \(\pi\) रेडियन (0° से 180°) के बीच ही होता है।
arccos(1) और arccos(-1) क्या होते हैं? \(\arccos(1) = 0°\) (क्योंकि \(\cos 0° = 1\)) और \(\arccos(-1) = 180°\) (क्योंकि \(\cos 180° = -1\))।
