द्विपद गुणांक क्या है?
द्विपद गुणांक, जिसे \(C(n, k)\) या "n choose k" लिखा जाता है, यह बताता है कि n वस्तुओं के एक समूह में से k वस्तुओं को कितने अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है — जब चुनने का क्रम मायने नहीं रखता। यह कॉम्बिनेटरिक्स (संयोजनशास्त्र) की सबसे बुनियादी राशियों में से एक है और प्रायिकता, सांख्यिकी तथा बीजगणित में जगह-जगह दिखाई देती है — जैसे द्विपद प्रमेय, पास्कल त्रिभुज और द्विपद प्रायिकता वितरण में।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
कुल वस्तुओं की संख्या n और जितनी वस्तुएँ आप चुनना चाहते हैं वह संख्या k दर्ज करें, फिर परिणाम देखें। इस टूल में \(0 \le k \le n\) के साथ पूर्ण संख्याएँ (whole numbers) होनी चाहिए। अगर k, n से बड़ा है तो गुणांक 0 होगा, क्योंकि जितनी वस्तुएँ मौजूद ही नहीं हैं, उतनी आप चुन नहीं सकते।
सूत्र की व्याख्या
मूल सूत्र है $$C(n, k) = \frac{n!}{k!\left(n - k\right)!}$$ जहाँ "!" क्रमगुणित (factorial) को दर्शाता है। बीच में बहुत बड़े फैक्टोरियल से बचने के लिए, यह कैलकुलेटर एक कुशल गुणात्मक रूप का इस्तेमाल करता है: यह \((n - k + 1)\) से लेकर n तक गुणा करता है और क्रमशः 1 से k तक भाग देता जाता है, साथ ही लूप को छोटा रखने के लिए सममिति \(C(n, k) = C(n, n - k)\) का उपयोग करता है।
हल किया हुआ उदाहरण
10 कार्डों के एक समूह से 3 कार्ड वाले कितने हाथ (hands) बनाए जा सकते हैं? $$C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120$$ यानी कुल 120 अलग-अलग संयोजन बनते हैं।
पास्कल का त्रिभुज संदर्भ तालिका
पास्कल के त्रिभुज में प्रत्येक प्रविष्टि एक द्विपद गुणांक \(\binom{n}{k}\) है। पंक्ति \(n\) बाईं ओर \(k=0\) से दाईं ओर \(k=n\) तक के मानों को सूचीबद्ध करती है। प्रत्येक आंतरिक मान इसके ऊपर सीधे दो मानों के योग के बराबर होता है, इसलिए \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\)। नीचे दी गई पंक्तियाँ \(n=0\) से \(n=10\) तक को कवर करती हैं, जिससे आप छोटे गुणांकों को सीधे पढ़ सकते हैं।
| n | k=0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
सममिति पर ध्यान दें: प्रत्येक पंक्ति आगे और पीछे की ओर समान पढ़ी जाती है क्योंकि \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)। प्रत्येक पंक्ति \(n\) का योग \(2^{n}\) के बराबर होता है — उदाहरण के लिए, पंक्ति 10 का योग \(2^{10}=1024\) है।
अधिक हल किए गए उदाहरण
ये उदाहरण \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) में पूर्ण प्रतिस्थापन दिखाते हैं ताकि प्रत्येक परिणाम को सत्यापित करना आसान हो।
उदाहरण 1 — पोकर हाथ: C(52,5)
52 कार्डों की एक डेक से कितने अलग-अलग 5-कार्ड हाथ बांटे जा सकते हैं? क्रम महत्व नहीं रखता, इसलिए हम द्विपद गुणांक का उपयोग करते हैं।
$$\binom{52}{5}=\frac{52!}{5!\,(52-5)!}=\frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1}=\frac{311{,}875{,}200}{120}$$
यह 2,598,960 संभावित 5-कार्ड पोकर हाथ देता है।
उदाहरण 2 — सीमा स्थिति C(6,6)
6 के एक समुच्चय से सभी 6 आइटम चुनना केवल एक तरीके से किया जा सकता है — सब कुछ रखें। \(k=n=6\) को प्रतिस्थापित करते हुए:
$$\binom{6}{6}=\frac{6!}{6!\,(6-6)!}=\frac{6!}{6!\cdot 0!}=\frac{720}{720\times 1}=1$$
यह सम्मेलन \(0!=1\) पर निर्भर करता है। वही तर्क किसी भी \(n\) के लिए \(\binom{n}{0}=1\) देता है: कुछ न चुनने का केवल एक तरीका है। तो 1।
उदाहरण 3 — सममिति: C(8,2) = C(8,6)
तत्समक \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) का अर्थ है कि \(k\) आइटम चुनना जिन्हें शामिल करना है, \(n-k\) आइटम छोड़ने के समान है। \(n=8\) के लिए दोनों पक्षों की गणना करें:
$$\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!\,6!}=\frac{8\times7}{2\times1}=\frac{56}{2}=28$$
$$\binom{8}{6}=\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2\times1}=28$$
दोनों 28 के बराबर हैं, सममिति संपत्ति की पुष्टि करते हुए। 8 से 2 रखने के लिए चुनना 6 को त्यागने के लिए चुनने का समान गणना है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या क्रम मायने रखता है? नहीं। क्रम वाले चयन (क्रमचय यानी permutations) के लिए इसके बजाय \(\frac{n!}{(n-k)!}\) का उपयोग करें।
\(C(n, 0)\) क्या होता है? हमेशा 1 — कुछ भी न चुनने का ठीक एक ही तरीका होता है।
अगर \(k > n\) हो तो? परिणाम 0 होगा; उपलब्ध वस्तुओं से ज़्यादा वस्तुएँ चुनी नहीं जा सकतीं।
