アーチ計算ツールとは？
このアーチ計算ツールは、たった2つの寸法から円弧（セグメンタル）アーチの形状を割り出します。1つはスパン（開口部を水平に渡る弦の長さ＝幅）、もう1つはライズ（弦からカーブの頂点までの垂直方向の高さ）です。この2つの値から、アーチが一部となっている円の半径、直径、カーブの長さ（弧長）、そしてその弧が円の中心に対してつくる中心角を導き出します。単位を問わず使える汎用的な幾何計算ツールで、石工・大工・木工職人・舞台美術の制作者など、曲線の開口部やテンプレートをけがく必要があるすべての人に役立ちます。
使い方
スパンとライズを同じ単位で入力します（センチ・インチ・メートルなど。結果も同じ単位で返ります）。「計算」ボタンを押すと、メインのボックスに半径が表示され、表には弧長・直径・中心角（度）が並びます。現場でカーブをけがくときは、算出した半径と同じ長さの紐を中心点に固定して弧を描きます。中心点は頂点からライズ − 半径だけ下にあり、起拱線（スプリンギングライン）より下に来る場合もあります。
計算式の解説
弦の長さをs（スパン）、ライズをhとすると、アーチを含む円の半径は次の式で求められます。
$$R = \frac{s^{2}}{8\cdot h} + \frac{h}{2}$$円の中心から弦までの垂直距離は\(d = R - h\)です。弦が中心に対してつくる半分の角度は\(\theta/2 = \operatorname{atan2}(s/2,\ d)\) なので、中心角の全体は\(\theta = 2\cdot\operatorname{atan2}(s/2,\ R-h)\)、弧長は$$L = R\cdot\theta$$（θはラジアン）となります。atan2 を用いることで、弧が半円より大きい場合でも正しい結果が得られます。
計算例
完全な半円は、スパン10・ライズ5になります。このとき \(R = 100/40 + 2.5 = 2.5 + 2.5 = 5\)。中心は弦の上に乗り（\(d = R - h = 0\)）、\(\theta = 2\cdot\operatorname{atan2}(5, 0) = 2\times 90° = 180°\) となります。弧長は \(R\cdot\theta = 5 \times \pi = 15.708\)、その半分はそれぞれ 7.854 です。
一般的なスパン/ライズのシナリオにおけるアーチ形状
円形（分節）アーチの場合、スパン \(S\)（開口部を横切る水平弦）とライズ \(H\)（スプリンギングラインから最頂部までの高さ）がその形状を完全に決定します。半径は \(R = \tfrac{S^2}{8H} + \tfrac{H}{2}\) から求められ、そこから中心角は \(\theta = 2\arctan\!\left(\tfrac{S/2}{\,R-H\,}\right)\) であり、弧長は \(L = R\theta\)（\(\theta\) はラジアン）です。
以下の表はスパンを1000 mmに固定してライズを増加させているため、平たいアーチほどはるかに大きな半径を必要とし、中心角が小さくなること、一方深いアーチは半円に近づき、それを超えることが分かります。
| アーチの種類 | スパン S (mm) | ライズ H (mm) | 半径 R (mm) | 直径 (mm) | 中心角 θ | 弧長 L (mm) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 浅い分節アーチ | 1000 | 150 | 908.3 | 1816.7 | 67.4° | 1068.6 |
| 平たい分節アーチ | 1000 | 250 | 625.0 | 1250.0 | 106.3° | 1159.3 |
| 半円形アーチ | 1000 | 500 | 500.0 | 1000.0 | 180.0° | 1570.8 |
| 馬蹄形 | 1000 | 600 | 508.3 | 1016.7 | 241.9° | 2146.4 |
\(H = S/2\) の場合、アーチはちょうど半円形です（\(R = S/2\)、\(\theta = 180^\circ\)）。ライズがスパンの半分を超える場合、曲線は円の最も広い点を通過し、スプリンギングで内側に曲がる馬蹄形を形成し、中心角は \(180^\circ\) より大きくなります。
主な用語と変数
- スパン (S)
- アーチの開口部を横切る水平な有効距離で、2つのスプリンギングポイント間で測定されます。円の幾何学ではそれは弧の弦です。
- ライズ (H)
- スプリンギングラインからアーチの最高点（最頂部）までの垂直な高さです。比率 \(H/S\) はアーチがどのくらい浅いか、または深いかを表します。
- 半径 (R)
- アーチの曲線が属する円の半径で、\(R = S^2/(8H) + H/2\) で与えられます。弧は中心点からこの半径を振って描かれます。
- 直径
- 半径の2倍、\(d = 2R\) — 基礎となる円の全幅です。
- 弦
- 円上の2つの点を結ぶ直線です。分節アーチの場合、スパンは弧に対応する弦です。
- 弧長 (L)
- 曲線の intrados（または同心円弧）に沿って測定された長さで、\(L = R\theta\) に等しく、中心角 \(\theta\) はラジアン単位です。
- 中心角 (θ)
- 円の中心から弧に対応される角度で、\(\theta = 2\arctan\!\big(\tfrac{S/2}{R-H}\big)\)。半円の場合は180°で、馬蹄形アーチの場合は180°以上です。
- スプリンギングライン
- アーチが垂直支持体から曲がり始める水平レベルで、スパンはこのラインに沿って測定されます。
- 最頂部 / 冠
- アーチの最も高い点で、ライズがここまで測定されます。冠はスパンの中点の真上に位置しています。
- 分節アーチ
- 曲線が半円未満の円弧セグメント（\(H < S/2\)）であるアーチで、平たいプロファイルと半径がスパンの半分より大きいものを与えます。
- 半円形アーチ
- ちょうど半円であるアーチで、ライズがスパンの半分に等しい（\(H = S/2\)）場合に発生し、\(R = S/2\) かつ \(\theta = 180^\circ\) です。
- 馬蹄形アーチ
- 円の最も広い点を超えて続くアーチ（\(H > S/2\)）で、スプリンギングで内側に曲がるため開口部が円の直径より狭くなり、その中心角は180°を超えます。
よくある質問
ライズがスパンの半分と等しいときは？ アーチはちょうど半円になります。半径はライズと等しくなり、角度は180°です。
ライズがスパンの半分より大きくてもいい？ はい。弧が半円を超え、いわゆる「馬蹄形」アーチになります。中心は弦より上に来ますが、atan2 なら正しい角度が返ります。
どの単位を使えばいい？ 単位は自由です。ただしスパンとライズで同じ単位を使ってください。出力もすべてその単位になります。
