この組み合わせ計算ツール（nCr）を使えば、異なる要素の集合からいくつかの要素を選ぶとき、並び順を区別せずかつ同じものを重複して選ばない場合の選び方が何通りあるかを簡単に求められます。確率や統計をはじめ、場合の数（組み合わせと順列）に関する問題を解くのに最適です。
組み合わせとは？
組合せ論において組み合わせ（combination）とは、ある集合から要素を選び出すときに並び順を区別しない選び方のことを指します。これは並び順を区別する順列（permutation）とは異なります。
一般的な組み合わせの公式は次のとおりです。
$$C(n, r) = \binom{\text{n}}{\text{r}} = \frac{\text{n}!}{\text{r}!\,\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ここで、
- n ＝ 集合に含まれる要素の総数
- r ＝ 選ぶ要素の個数（標本の大きさ）
- ! ＝ 階乗
この計算ツールは重複を許さない組み合わせを計算します。つまり、1つの組み合わせの中で同じ要素は一度しか選ばれません。
こんなときに便利
- 大勢の候補から当選者のグループを選ぶとき
- 並び順を区別せずに、カードの山から何枚かを選ぶとき
- 組み合わせと順列に関する統計の問題を解くとき
- 順列ではなく組み合わせだけが必要な場面で、選び方の総数を求めるとき
使い方
- 要素の総数（n）を入力：集合に含まれる要素の総数を入力します。
- 選ぶ個数（r）を入力：いくつ選ぶかを指定します。
- 「計算」をクリック：組み合わせの公式を使って結果を計算します。
- 結果を確認：並び順を区別しない場合に、
n個からr個を選ぶ選び方が何通りあるかが表示されます。
計算例
例えば、10個の要素から3個を選ぶ場合を考えてみましょう。
$$n = 10, \quad r = 3$$ $$10C3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$したがって、10個の中から3個を選ぶ組み合わせは120通りあります。
よくある質問
1. 組み合わせと順列の違いは何ですか？
組み合わせは並び順を区別しないときに使い、順列は並び順が重要なときに使います。例えば、チームのメンバーを選ぶのは組み合わせですが、それぞれに役割を割り当てるのは順列です。
2. 重複を許す組み合わせも計算できますか？
この計算ツールは重複を許さない組み合わせを対象としています。重複を許す場合は別の公式 n+r-1Cr を使う必要があります。
3. 選ぶ個数が要素の総数を超えるとどうなりますか？
集合にある数より多くの要素を選ぶことはできません。r > n の場合、組み合わせは数学的に定義されません。
一般的な値の nCr 参照表
下表は小さな \(n\) 値（1 から 10）に対して、有効な \(r\) の全選択肢（0 から \(n\) まで）における \(C(n, r)\) を示します。これはよく知られたパスカルの三角形です。各内部の値はその上の斜め方向の 2 つの値の合計に等しく、各行は対称です。これは \(C(n, r) = C(n, n-r)\) だからです。行の \(n\) と列の \(r\) が交わる位置の値を読み取ってください。
| n \ r | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
\(C(n, 0) = C(n, n) = 1\) に注意してください（何も選ばない方法は正確に 1 つで、すべてを選ぶ方法も 1 つです）。また \(C(n, 1) = n\) です（1 つの項目を選ぶ方法は \(n\) 通りあります）。
その他の解答例
各例は値を組み合わせの公式 \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\) に直接代入します。ここで順序は関係ありません。
-
ポーカーハンド — 52 個から 5 個を選ぶ。 標準的なトランプは 52 枚で、ポーカーハンドは順序を考えずに引かれた 5 枚のカードです：
$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,(52-5)!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311{,}875{,}200}{120}$$これは 2,598,960 通りの異なる 5 枚ハンドをもたらします。
-
すべてを選ぶ — 6 個から 6 個を選ぶ。 すべての項目を選ぶ必要があるとき、可能なグループは 1 つだけです：
$$C(6, 6) = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{6!}{6! \times 0!} = \frac{720}{720 \times 1} = 1$$\(0! = 1\) という慣例を使用します。したがって \(C(6, 6) = \) 1 です。
-
何も選ばない — 8 個から 0 個を選ぶ。 集合から何も選ばない方法は正確に 1 つです（空の選択）：
$$C(8, 0) = \frac{8!}{0!\,(8-0)!} = \frac{8!}{1 \times 8!} = 1$$したがって \(C(8, 0) = \) 1 です。
-
委員会 — 10 個から 3 個を選ぶ。 10 人の候補者から 3 人の委員会を選択します（役割は区別されません）：
$$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6}$$120 通りの委員会を与えます。役割が異なる場合（議長、書記、会計）、順序が重要になるため、代わりに順列 720 を計算します。
主要用語と定義
- 組み合わせ
- より大きな集合から項目を選択する場合で、選択の順序が重要でないもの。\(n\) 個から \(r\) 個の項目を選ぶ組み合わせの数は \(C(n, r)\)、\(\binom{n}{r}\)、または「n 個から r 個を選ぶ」と表記されます。
- 順列
- 項目の順序付き配置。順序が重要であるため、順列は常に組み合わせ以上になります：\(P(n, r) = C(n, r) \times r!\)。たとえば、\{A, B\} と \{B, A\} は 1 つの組み合わせですが 2 つの順列です。
- n（集合サイズ）
- 選択可能な異なる項目の総数 — 全体集合のサイズ。公式ではこれは \(\binom{n}{r}\) の上の数です。
- r（標本サイズ）
- 集合から選択する項目の数。\(0 \le r \le n\) を満たす必要があります。公式ではこれは \(\binom{n}{r}\) の下の数です。
- 階乗（!）
- ある数までのすべての正の整数の積：\(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\)。定義により \(0! = 1\)。階乗は組み合わせの公式全体に現れます。たとえば、\(5! = 120\) です。
- 「順序が重要でない」
- 組み合わせの定義的性質：同じ項目を含む 2 つの選択は、それらが選ばれた順序に関わらず同一と見なされます。これが \(C(n, r)\) が順序付きの数 \(P(n, r)\) を \(r!\) で除算して重複した順序を削除する理由です。
異なるシナリオにおけるnCr
同じ組み合わせ公式\(C(n,r)=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)は、多くの日常的な計数問題に応用されます。組み合わせでは順序が重要ではないため、nCrは「順序付けられた列がいくつあるか」ではなく「何個の異なるグループが形成できるか」という質問に答えます。下の表は、この计算機で計算された複数の現実的なケースを示しています。
| シナリオ | n（合計） | r（選択） | nCr | 現実世界の文脈 |
|---|---|---|---|---|
| 小規模なペアリング | 5 | 2 | 10 | 5人から2人のチームメートを選ぶ方法の数、または5つのオプションから2つのトッピングを選ぶ方法の数。 |
| 委員会の選出 | 10 | 3 | 120 | 10人のグループから選出できる異なる3人の小委員会。 |
| 6/49ロッタリー | 49 | 6 | 13,983,816 | 49個の数字から6個を選ぶ可能な総数 — 1枚のチケットで6つすべてに当たる確率は1/この数。 |
| ポーカーハンド | 52 | 5 | 2,598,960 | 標準的な52枚のデッキから配られる異なる5枚手札の数（順序は無視）。 |
| ピザのトッピング | 8 | 3 | 56 | 8つのメニューから3つのトッピングを選ぶ方法の数、選ぶ順序は関係ない。 |
ポーカーの場合の計算確認: \(C(52,5)=\dfrac{52!}{5!\,(52-5)!}=\dfrac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{311{,}875{,}200}{120}=2{,}598{,}960.\) 順序が重要な場合、代わりに順列を使用します。\(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\)により、はるかに大きい数が得られます。
