この計算ツールでできること
この「二次式の因数分解計算ツール」は、\(\text{a}x^{2} + \text{b}x + \text{c}\) の形をした二次式を、\(\text{a}(x - r_{1})(x - r_{2})\) という一次式の積へと書き換えます。係数がきれいな整数でなくても問題ありません。解の公式を使って解を求め、その解から因数分解した形を組み立てるため、あらゆる実数の係数に対応します。さらに判別式も表示するので、その二次式が実数の範囲で因数分解できるかどうかをひと目で判断できます。
使い方
3つの係数を入力します。a は x² の前の数、b は x の前の数、c は定数項です。あとは計算ボタンを押すだけ。因数分解した一次式の積、2つの解、そして判別式 \(\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}\) が表示されます。判別式が負の場合、その二次式は実数では因数分解できないため、代わりに共役な複素数の解を表示します。
公式の解説
解は解の公式 $$r = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$ から求められます。ルートの中の値 \(\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}\) が判別式です。判別式が正のときは異なる2つの実数解、ゼロのときは重解（完全平方）、負のときは複素数解になります。解 \(r_{1}\) と \(r_{2}\) が分かれば、もとの二次式は \(\text{a}(x - r_{1})(x - r_{2})\) と等しくなります。この積を展開すると、もとの係数がそのまま再現されるからです。
具体例で確認
\(x^{2} - 5x + 6\) を因数分解してみましょう。ここでは a = 1、b = −5、c = 6 です。判別式は $$(-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ 解は $$\frac{5 \pm 1}{2} = 3 \text{ と } 2$$ になります。したがって \(x^{2} - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)\) です。展開して確かめてみると、\(x^{2} - 2x - 3x + 6 = x^{2} - 5x + 6\) となり、確かに一致します。✓
よくある質問
a = 0 のときはどうなりますか？ その場合、式は二次式ではなく一次式になるため、2つの一次式の積に因数分解することはできません。このツールはそのケースを検出して知らせます。
判別式が負だと何を意味しますか？ その二次式には実数解がなく、実数の範囲では因数分解できないことを意味します。解は \(p \pm qi\) という共役な複素数のペアになります。
解が分数や小数になることもありますか？ あります。因数が整数にならない場合でも、表示される \(\text{a}(x - r_{1})(x - r_{2})\) の形は、入力した係数に対して正確な値を表しています。
