Что такое калькулятор длины дуги по углу в градусах?
Этот калькулятор находит длину дуги окружности, если известны радиус окружности и центральный угол, измеренный в градусах. Дуга — это часть длины окружности, и её длина пропорциональна той доле полного оборота в 360°, которую охватывает данный угол.
Как пользоваться
Введите радиус (\(r\)) в любых удобных единицах — сантиметрах, метрах, дюймах и т. д. Затем укажите центральный угол в градусах (от 0 до 360). Калькулятор выдаст длину дуги в тех же единицах, что и радиус, а также угол, переведённый в радианы, и полную длину окружности для справки.
Разбор формулы
Полная длина окружности равна \(2\pi r\). Центральный угол в \(\theta\) градусов охватывает \(\theta/360\) всей окружности, поэтому длина дуги вычисляется так:
$$L = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$$
Поскольку полный круг — это 360°, деление вашего угла на 360 даёт ту долю длины окружности, которую составляет дуга.
Пример расчёта
Пусть \(r = 10\), а центральный угол равен 90° (четверть окружности). Тогда $$L = \frac{90}{360} \times 2\pi \times 10 = 0{,}25 \times 62{,}8319 = 15{,}708 \text{ единиц.}$$ Угол в радианах: \(90 \times \pi/180 = 1{,}5708\), а полная длина окружности составляет 62,832.
Частые вопросы
В каких единицах получается длина дуги? В тех же, что и введённый радиус. Если \(r\) задан в метрах, то и длина дуги будет в метрах.
Может ли угол быть больше 360°? Этот инструмент ограничивает угол диапазоном 0–360°. Для углов больше полного оборота сначала вычтите кратные 360°.
Как вместо этого найти длину хорды? Хорда (прямая линия между концами дуги) равна \(2r \times \sin(\theta/2)\), что отличается от длины самой дуги.
Общие длины дуг по углам
В таблице ниже используется единичный круг (радиус \(r=1\)). Длина дуги рассчитывается по формуле \(L=\dfrac{\theta}{360}\times 2\pi r\). Для любого другого радиуса просто умножьте столбец «как кратное r» на ваш радиус.
| Угол (градусы) | Радианы | Длина дуги (кратное r) | Длина дуги (десятичное, r=1) | Доля круга |
|---|---|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | \(\tfrac{\pi}{6}\,r\) | 0.5236 | 1/12 |
| 45° | \(\pi/4\) | \(\tfrac{\pi}{4}\,r\) | 0.7854 | 1/8 |
| 60° | \(\pi/3\) | \(\tfrac{\pi}{3}\,r\) | 1.0472 | 1/6 |
| 90° | \(\pi/2\) | \(\tfrac{\pi}{2}\,r\) | 1.5708 | 1/4 |
| 120° | \(2\pi/3\) | \(\tfrac{2\pi}{3}\,r\) | 2.0944 | 1/3 |
| 180° | \(\pi\) | \(\pi\,r\) | 3.1416 | 1/2 |
| 270° | \(3\pi/2\) | \(\tfrac{3\pi}{2}\,r\) | 4.7124 | 3/4 |
| 360° | \(2\pi\) | \(2\pi\,r\) | 6.2832 | 1 (полный круг) |
Ключевые термины
- Дуга — непрерывная часть края круга (окружности). Её длина \(L\) — это то, что находит данный калькулятор по радиусу и центральному углу.
- Центральный угол (θ) — угол, измеренный в градусах, образованный в центре круга двумя радиусами, ограничивающими дугу. Больший \(\theta\) охватывает более длинную дугу; при 360° дуга становится всей окружностью.
- Радиус (r) — расстояние от центра до любой точки на круге. Длина дуги пропорциональна \(r\): увеличьте радиус в два раза, и дуга для того же угла увеличится в два раза.
- Радиан — угол, под которым дуга стягивает длину, равную радиусу. Поскольку \(360^\circ = 2\pi\) радиан, преобразование в радианы даёт компактную форму \(L = r\theta_{\text{рад}}\).
- Окружность — длина дуги полного круга, \(C = 2\pi r\). Каждая длина дуги является долей \(\theta/360\) этого значения.
- Хорда — прямая линия, соединяющая два конца дуги. Она всегда короче дуги, которую она охватывает, и не совпадает с длиной дуги.
- Сектор — «кусок пирога» область, ограниченная дугой и её двумя радиусами. Дуга — это его изогнутая граница; его площадь равна \(\tfrac{\theta}{360}\pi r^2\).
