Что такое калькулятор площади восьмиугольника?
Этот калькулятор вычисляет площадь правильного восьмиугольника — восьмиугольной фигуры, у которой все стороны и все внутренние углы равны, — используя лишь длину одной стороны. Правильные восьмиугольники окружают нас повсюду: дорожный знак «Стоп», зонты, напольная плитка, элементы архитектуры. Поэтому умение быстро находить заключённую площадь пригодится в рукоделии, строительстве и при решении задач по геометрии.
Как пользоваться калькулятором
Введите длину одной стороны (s) в любых удобных единицах — сантиметрах, дюймах, метрах или футах. Нажмите «Рассчитать», и калькулятор выдаст площадь в этих же единицах в квадрате, а заодно покажет периметр. Формула чисто геометрическая, поэтому работает с любыми единицами и любой положительной длиной стороны.
Разбор формулы
Площадь правильного восьмиугольника находится по формуле:
$$A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right)\cdot s^{2}$$
Коэффициент \(2\left(1 + \sqrt{2}\right)\) примерно равен 4,8284. Правильный восьмиугольник можно разбить на центральный квадрат, четыре прямоугольника и четыре угловых треугольника — сложив их площади, мы и получаем это компактное выражение. Периметр считается ещё проще: \(P = 8s\), ведь все восемь сторон одинаковы.
Пример расчёта
Пусть каждая сторона равна 5 единицам. Тогда \(s^{2} = 25\), а $$A = 2(1 + 1{,}41421) \times 25 = 4{,}82843 \times 25 \approx 120{,}71 \text{ квадратной единицы}$$ Периметр равен \(8 \times 5 = 40\) единиц.
Частые вопросы
Подходит ли калькулятор для неправильных восьмиугольников? Нет. Формула рассчитана на правильный восьмиугольник, у которого все стороны и углы равны. Неправильный восьмиугольник придётся разбить на треугольники и сложить их площади по отдельности.
В каких единицах ведётся расчёт? В любых, главное — единообразие. Площадь получается в квадрате той единицы, в которой вы задали сторону.
Как найти площадь, зная расстояние между параллельными сторонами? Ширина между плоскими гранями \(W\) связана со стороной соотношением \(W = s(1 + \sqrt{2})\), откуда \(s = W / (1 + \sqrt{2})\). Сначала вычислите сторону, а затем введите её в калькулятор.
Площадь правильного восьмиугольника для обычных длин сторон
Площадь правильного восьмиугольника определяется непосредственно по длине его стороны \(s\) по формуле \(A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right)s^{2}\), где константа \(2(1+\sqrt{2}) \approx 4.828427\). Периметр просто равен \(P = 8s\). В таблице ниже указаны обе величины для диапазона обычных длин сторон, округлённые до двух десятичных знаков. Значения используют согласованные единицы измерения — если \(s\) в сантиметрах, то площадь в квадратных сантиметрах.
| Сторона \(s\) | Периметр \(8s\) | Площадь \(2(1+\sqrt{2})s^{2}\) |
|---|---|---|
| 1 | 8 | 4.83 |
| 2 | 16 | 19.31 |
| 5 | 40 | 120.71 |
| 10 | 80 | 482.84 |
| 20 | 160 | 1931.37 |
| 50 | 400 | 12071.07 |
| 100 | 800 | 48284.27 |
Поскольку площадь зависит от квадрата стороны, удвоение длины стороны увеличивает площадь в четыре раза — например, при переходе от \(s=10\) к \(s=20\) площадь увеличивается с 482.84 до 1931.37, что в четыре раза больше.
Преобразования размеров восьмиугольника
Правильный восьмиугольник можно описать несколькими связанными измерениями, каждое из которых является фиксированным множителем длины стороны \(s\). Ширина между параллельными сторонами \(W\) — это расстояние между двумя противоположными параллельными рёбрами; ширина между противоположными вершинами \(D\) (диаметр описанной окружности) — это расстояние между двумя противоположными вершинами. Они задаются формулами:
$$W = s\left(1+\sqrt{2}\right), \qquad D = s\sqrt{4+2\sqrt{2}}, \qquad P = 8s$$| Величина | Формула | Множитель \times \(s\) |
|---|---|---|
| Периметр \(P\) | \(8s\) | 8 |
| Ширина между параллельными сторонами \(W\) | \(s(1+\sqrt{2})\) | 2.414214 |
| Ширина между противоположными вершинами \(D\) | \(s\sqrt{4+2\sqrt{2}}\) | 2.613126 |
| Площадь \(A\) | \(2(1+\sqrt{2})s^{2}\) | 4.828427 (× \(s^{2}\)) |
Чтобы выполнить обратное преобразование, разделите на множитель. Например, если вы знаете ширину между параллельными сторонами, длина стороны равна \(s = W / (1+\sqrt{2}) \approx 0.414214\,W\); если вы знаете диаметр между противоположными вершинами, \(s = D / \sqrt{4+2\sqrt{2}} \approx 0.382683\,D\). После определения \(s\) площадь находится по формуле \(A = 2(1+\sqrt{2})s^{2}\). Например, восьмиугольник в форме дорожного знака со стороной \(s = 30\,\text{см}\) имеет ширину между параллельными сторонами \(72.43\,\text{см}\), ширину между противоположными вершинами \(78.39\,\text{см}\) и площадь 4345.58 см².
