Что умеет калькулятор арифметической прогрессии
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одну и ту же постоянную величину, называемую разностью прогрессии. Калькулятор принимает три значения и мгновенно выдаёт последний член, сумму всех членов и цветную визуализацию всей последовательности, чтобы вы сразу видели характер изменения чисел.
Какие данные нужно ввести
- Первый член (a₁): начальное значение прогрессии.
- Разность прогрессии (d): число, которое прибавляется к каждому члену для получения следующего. Положительное значение делает прогрессию возрастающей, отрицательное — убывающей.
- Количество членов (n): сколько членов нужно вычислить, перечислить и просуммировать.
Используемые формулы
Калькулятор работает по двум классическим формулам арифметической прогрессии:
- n-й (последний) член: $$a_n = \text{a}_1 + \left(\text{n} - 1\right)\times\text{d}$$
- Сумма n членов: $$S_n = \frac{\text{n}}{2}\times\left(2\,\text{a}_1 + \left(\text{n} - 1\right)\times\text{d}\right)$$
Кроме того, он строит каждый отдельный член — от \(\text{a}_1\) до \(a_n\). На визуальной схеме каждый член окрашен по градиенту от зелёного к красному и слегка меняется в размере: наименьшее значение отображается зелёным и маленьким, наибольшее — красным и крупным, поэтому тенденцию легко увидеть с первого взгляда.
Разбор примера
Допустим, вы ввели: первый член = 3, разность = 5, количество членов = 6.
- Последний член: $$a_6 = 3 + \left(6 - 1\right)\times 5 = 3 + 25 = \textbf{28}$$
- Сумма: $$S_6 = \frac{6}{2}\times\left(2\times 3 + \left(6 - 1\right)\times 5\right) = 3\times\left(6 + 25\right) = 3\times 31 = \textbf{93}$$
- Последовательность: 3, 8, 13, 18, 23, 28
Калькулятор покажет 28 как последний член, 93 как сумму и выведет все шесть членов с цветовым градиентом.
Сравнение различных входных данных последовательностей
Арифметическая последовательность определяется тремя входными данными: первый член \(a_1\), общая разность \(d\) и количество членов \(n\). На их основе вы можете вычислить последний (n-й) член и сумму всех членов, используя:
$$a_n = a_1 + (n-1)\,d \qquad S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
В таблице ниже показано, как последний член и сумма изменяются для нескольких реальных наборов входных данных. Обратите внимание, что отрицательная общая разность производит убывающую последовательность, а дробная разность производит нецелые члены.
| Первый член \(a_1\) | Общая разность \(d\) | Количество членов \(n\) | Последний член \(a_n\) | Сумма \(S_n\) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 5 | 14 | 40 |
| 10 | -2 | 8 | -4 | 24 |
| 1 | 0.5 | 10 | 5.5 | 32.5 |
| 5 | 5 | 20 | 100 | 1050 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 |
| 0 | 1 | 100 | 99 | 4950 |
Например, последняя строка суммирует целые числа \(0+1+2+\cdots+99\). Используя \(S_n = \tfrac{n}{2}(a_1 + a_n) = \tfrac{100}{2}(0 + 99) = 4950\). Этот же результат можно подтвердить с помощью формулы арифметической прогрессии, и эквивалентно как суммирование \(\sum_{i=1}^{100}(i-1)\).
Часто задаваемые вопросы
Может ли разность быть отрицательной или дробной? Да. Значения считываются как десятичные числа, поэтому разность −2 даёт убывающую прогрессию, а 0,5 — дробный шаг. Целым числом должно быть только количество членов.
Что будет, если указать количество членов равным 1? Прогрессия будет состоять только из первого члена, последний член совпадёт с первым, а сумма будет равна этому же значению.
Подходит ли калькулятор для арифметического ряда? Да — поле «сумма» как раз и есть значение арифметического ряда (сумма всех членов), вычисленное по формуле \(S_n\) выше.
