Что умеет этот двоичный калькулятор
Этот двоичный калькулятор выполняет арифметические действия с двумя двоичными числами (числами в системе счисления по основанию 2, записанными только цифрами 0 и 1). Вы вводите два двоичных значения, выбираете одну из четырёх операций — сложение, вычитание, умножение или деление, — и инструмент выдаёт ответ как в двоичном, так и в десятичном виде, а также подробно объясняет ход вычислений.
Поля ввода
- Первое двоичное число — левый операнд, например
1010. - Операция — выберите сложение, вычитание, умножение или деление.
- Второе двоичное число — правый операнд, например
11.
Каждое значение должно состоять только из нулей и единиц. Если в любом из полей есть другой символ, калькулятор выдаст сообщение «Недопустимый двоичный ввод» вместо результата.
Как происходит вычисление
Внутри инструмент не считает поразрядно. Вместо этого он выполняет три простых шага:
- Перевод в десятичную систему: каждая двоичная строка разбирается как целое число по основанию 2.
- Выполнение операции: два десятичных значения складываются, вычитаются, умножаются или делятся нацело. Деление целочисленное (с отбрасыванием дробной части), поэтому остаток отбрасывается, а деление на ноль возвращает сообщение «Деление на ноль».
- Обратный перевод в двоичную систему: результат преобразуется из десятичного вида в двоичную строку для отображения, при этом десятичный результат также показывается.
Разбор примера
Допустим, первое двоичное число = 1010, операция — умножение, второе двоичное число = 11.
1010в десятичной системе — это 10.11в десятичной системе — это 3.- \(10 \times 3 = 30\).
- 30 в обратном переводе в двоичную систему — это
11110.
Таким образом, калькулятор покажет результат 11110 (двоичный) и 30 (десятичный).
Таблица перевода двоичных чисел в десятичные
В двоичной системе (основание 2) каждая цифра (бит) представляет степень двойки. Читая двоичное число справа налево, значения позиций равны \(2^0=1,\ 2^1=2,\ 2^2=4,\ 2^3=8,\ 2^4=16,\ \dots\). Чтобы найти десятичный эквивалент, нужно сложить значения позиций везде, где появляется цифра 1.
Часто встречающиеся значения
| Двоичное | Десятичное |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | 10 |
| 1011 | 11 |
| 1100 | 12 |
| 1101 | 13 |
| 1110 | 14 |
| 1111 | 15 |
Значения позиций (степени двойки)
| Двоичное | Степень | Десятичный вес |
|---|---|---|
| 1 | \(2^0\) | 1 |
| 10 | \(2^1\) | 2 |
| 100 | \(2^2\) | 4 |
| 1000 | \(2^3\) | 8 |
| 10000 | \(2^4\) | 16 |
| 100000 | \(2^5\) | 32 |
| 1000000 | \(2^6\) | 64 |
| 10000000 | \(2^7\) | 128 |
| 100000000 | \(2^8\) | 256 |
Дополнительные примеры с подробными решениями
Сложение: 1011 + 110
Преобразуйте каждое число в десятичное, сложите, а затем преобразуйте обратно в двоичное.
- \(1011_2 = 8+2+1 = 11_{10}\)
- \(110_2 = 4+2 = 6_{10}\)
- Сложение: \(11 + 6 = 17_{10}\)
- Преобразование назад: \(17_{10} = 16+1 = 10001_2\)
Сложение по столбцам подтверждает это — при сложении \(1011 + 0110\) возникают переносы в более высокие разряды, что даёт 10001 (десятичное число 17).
Вычитание с отрицательным результатом: 10 − 111
Когда второе число больше, результат отрицателен.
- \(10_2 = 2_{10}\)
- \(111_2 = 7_{10}\)
- Вычитание: \(2 - 7 = -5_{10}\)
- Преобразование абсолютного значения назад: \(5_{10} = 101_2\), поэтому ответ равен \(-101_2\)
Результат \(10 - 111\) равен -101 в двоичной системе (десятичное число \(-5\)).
Целочисленное деление с отброшенным остатком: 111 ÷ 10
Целочисленное двоичное деление сохраняет только целую часть частного и отбрасывает остаток.
- \(111_2 = 7_{10}\)
- \(10_2 = 2_{10}\)
- Деление: \(7 \div 2 = 3\) с остатком \(1\); остаток \(1\) отбрасывается
- Преобразование частного назад: \(3_{10} = 11_2\)
Таким образом, \(111 \div 10 = \)11 в двоичной системе (десятичное число 3, остаток 1 отброшен).
Объяснение ключевых терминов
- Двоичная система (основание 2)
- Система счисления, использующая только цифры 0 и 1. Каждая позиция представляет степень двойки, в отличие от десятичной системы (основание 10), которая использует цифры 0–9.
- Бит
- Одна двоичная цифра — либо 0, либо 1. Это наименьшая единица данных в вычислениях.
- Старший значащий бит (СЗБ)
- Крайний левый бит двоичного числа; он имеет наибольшее значение позиции и оказывает наибольшее влияние на величину числа.
- Младший значащий бит (МЗБ)
- Крайний правый бит со значением позиции \(2^0=1\); он оказывает наименьшее влияние и определяет, является ли число нечётным или чётным.
- Перенос
- Когда сумма двух битов в столбце равна 2 или более, избыток переносится в следующий (более высокий) столбец. В двоичной системе \(1+1=10\), поэтому в столбце показывается 0, а 1 переносится влево.
- Значение позиции
- Вес, присвоённый каждой позиции цифры, равный степени двойки: \(1, 2, 4, 8, 16, \dots\) читая справа налево.
- Целочисленное (усечённое) деление
- Деление, которое возвращает только целую часть частного и отбрасывает остаток. Например \(7 \div 2 = 3\), остаток 1 отбрасывается.
- Десятичный эквивалент
- Значение двоичного числа в системе счисления с основанием 10, найденное путём суммирования значений позиций везде, где появляется цифра 1 — например \(1011_2 = 8+2+1 = 11_{10}\).
Часто задаваемые вопросы
Что происходит с остатком при делении? Деление целочисленное, поэтому дробная часть отбрасывается. Например, 111 (7) ÷ 10 (2) даёт 11 (3), а не 3,5.
Может ли получиться отрицательный результат? Да. Если из меньшего числа вычесть большее, получится отрицательное десятичное значение, что отражается и в показанном двоичном представлении.
Почему появляется сообщение «Недопустимый двоичный ввод»? Поля принимают только цифры 0 и 1. Пробелы, запятые (десятичные точки) или цифры от 2 до 9 вызовут это сообщение, поэтому внимательно проверьте введённые данные.
