Калькулятор разложения квадратного трёхчлена на множители

Введите расчет

a (коэффициент при x²)

b (коэффициент при x)

c (свободный член)

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Factored Form

   

   With roots x1 and x2 from the quadratic formula, the quadratic factors as a(x - x1)(x - x2).

Результатов

Разложение на множители

(x − 5)(x + 2)

= 1x² + -3x + -10

Discriminant (b² − 4ac)	49
Корень 1 (r₁)	5
Корень 2 (r₂)	-2

Что делает этот калькулятор

Этот калькулятор берёт любой квадратный трёхчлен вида \(\text{a}x^{2} + \text{b}x + \text{c}\) и представляет его в виде произведения двух множителей: \(\text{a}(x - r_{1})(x - r_{2})\). Он работает с любыми действительными коэффициентами, а не только с «удобными» целыми числами: корни находятся по формуле квадратного уравнения и используются для построения разложения. Калькулятор также показывает дискриминант, поэтому вы сразу видите, раскладывается ли трёхчлен на множители в области действительных чисел.

Как пользоваться

Введите три коэффициента: \(\text{a}\) (число перед \(x^{2}\)), \(\text{b}\) (число перед \(x\)) и \(\text{c}\) (свободный член). Нажмите «Рассчитать». Калькулятор выдаст разложение на множители, оба корня и дискриминант \(\text{b}^{2} - 4\text{a}\text{c}\). Если дискриминант отрицательный, действительного разложения у трёхчлена нет, и вместо него выводится пара комплексно-сопряжённых корней.

Разбор формулы

Корни вычисляются по формуле квадратного уравнения $$r = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$ Выражение под знаком корня, \(\text{b}^{2} - 4\text{a}\text{c}\), называется дискриминантом. Когда он положительный — есть два различных действительных корня; когда равен нулю — один кратный корень (полный квадрат); когда отрицательный — корни комплексные. Зная корни \(r_{1}\) и \(r_{2}\), исходный трёхчлен можно записать как $$\text{a}x^{2} + \text{b}x + \text{c} = \text{a}\left(x - x_{1}\right)\left(x - x_{2}\right)$$ при раскрытии этого произведения мы получаем те же самые коэффициенты.

Дискриминант b²−4ac определяет, есть ли два, один или ни одного действительного корня.

Как стандартный вид ax²+bx+c переходит в разложение a(x−r₁)(x−r₂).

Разбор примера

Разложим \(x^{2} - 5x + 6\). Здесь \(\text{a} = 1\), \(\text{b} = -5\), \(\text{c} = 6\). Дискриминант равен $$(-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ Корни: \(\frac{5 \pm 1}{2} = 3\) и \(2\). Значит, \(x^{2} - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)\). Проверим раскрытием скобок: \(x^{2} - 2x - 3x + 6 = x^{2} - 5x + 6\). ✓

Частые вопросы

Что если \(\text{a} = 0\)? Тогда выражение становится линейным, а не квадратным, и разложить его на два множителя нельзя — калькулятор отметит этот случай.

Что означает отрицательный дискриминант? У трёхчлена нет действительных корней, поэтому разложить его на множители с действительными числами невозможно; корни образуют комплексно-сопряжённую пару \(p \pm qi\).

Могут ли корни быть дробными или десятичными? Да. Даже если множители не целые, выводимая форма \(\text{a}(x - r_{1})(x - r_{2})\) точно соответствует заданным коэффициентам.