Aritmetik Dizi Hesaplayıcı Ne İşe Yarar?
Aritmetik dizi, her terimin sabit bir miktar kadar arttığı (ya da azaldığı) sayılar listesidir; bu sabit miktara "ortak fark" denir. Bu hesaplayıcı üç değer alır ve anında son terimi, tüm terimlerin toplamını ve dizinin renk kodlu görsel bir gösterimini verir. Böylece ilerleyişi tek bakışta kavrayabilirsiniz.
Girdiğiniz Değerler
- İlk Terim (a₁): dizinin başlangıç değeri.
- Ortak Fark (d): her terime eklenerek bir sonraki terimin elde edildiği miktar. Pozitif bir değer diziyi artırır, negatif bir değer ise azaltır.
- Terim Sayısı (n): oluşturulup listelenecek ve toplanacak terim adedi.
Kullanılan Formüller
Hesaplayıcı, aritmetik diziye ait iki standart formülü uygular:
- n. (son) terim: $$a_n = \text{a}_1 + \left(\text{n} - 1\right)\text{d}$$
- n terimin toplamı: $$S_n = \frac{\text{n}}{2}\left(2\,\text{a}_1 + \left(\text{n} - 1\right)\text{d}\right)$$
Ayrıca a₁'den aₙ'ye kadar her bir terimi de oluşturur. Görsel gösterimde her terim, yeşilden kırmızıya uzanan bir renk geçişiyle gölgelenir ve boyutu hafifçe değiştirilir; en küçük değer yeşil ve küçük, en büyük değer kırmızı ve büyük görünür. Böylece eğilimi takip etmek kolaylaşır.
Örnek Çözüm
Diyelim ki İlk Terim = 3, Ortak Fark = 5 ve Terim Sayısı = 6 değerlerini girdiniz.
- Son terim: $$a_6 = 3 + \left(6 - 1\right)\times 5 = 3 + 25 = \mathbf{28}$$
- Toplam: $$S_6 = \frac{6}{2}\left(2\times 3 + \left(6 - 1\right)\times 5\right) = 3\times\left(6 + 25\right) = 3\times 31 = \mathbf{93}$$
- Dizi: 3, 8, 13, 18, 23, 28
Hesaplayıcı son terim olarak 28'i, toplam olarak 93'ü döndürür ve altı terimin tümünü renk geçişiyle birlikte gösterir.
Farklı Dizi Girişlerinin Karşılaştırılması
Bir aritmetik dizi üç girişle tanımlanır: ilk terim \(a_1\), ortak fark \(d\) ve terim sayısı \(n\). Bunlardan son (n'inci) terimi ve tüm terimlerin toplamını şu formüllerle hesaplayabilirsiniz:
$$a_n = a_1 + (n-1)\,d \qquad S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
Aşağıdaki tablo, son terim ve toplamın birkaç gerçekçi girdi kümesi arasında nasıl değiştiğini göstermektedir. Negatif ortak farkın azalan bir dizi oluşturduğuna ve kesirli bir farkın tam sayı olmayan terimler oluşturduğuna dikkat edin.
| İlk terim \(a_1\) | Ortak fark \(d\) | Terim sayısı \(n\) | Son terim \(a_n\) | Toplam \(S_n\) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 5 | 14 | 40 |
| 10 | -2 | 8 | -4 | 24 |
| 1 | 0.5 | 10 | 5.5 | 32.5 |
| 5 | 5 | 20 | 100 | 1050 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 |
| 0 | 1 | 100 | 99 | 4950 |
Örneğin, son satır \(0+1+2+\cdots+99\) tamsayılarını toplar. \(S_n = \tfrac{n}{2}(a_1 + a_n) = \tfrac{100}{2}(0 + 99) = 4950\) kullanılarak hesaplanır. Aynı toplam, aritmetik seri formülü ile doğrulanabilir ve eşdeğer olarak \(\sum_{i=1}^{100}(i-1)\) toplamı olarak hesaplanabilir.
Sıkça Sorulan Sorular
Ortak fark negatif veya ondalıklı olabilir mi? Evet. Girdiler ondalıklı sayı olarak okunur; bu nedenle −2'lik bir fark azalan bir dizi, 0,5 ise kesirli adımlar üretir. Yalnızca terim sayısının tam sayı olması gerekir.
Terim sayısı olarak 1 girersem ne olur? Dizi yalnızca ilk terimi içerir, son terim ilk terime eşit olur ve toplam da basitçe bu değer olur.
Hesaplayıcı aritmetik seriler için de çalışır mı? Evet; "toplam" çıktısı tam olarak aritmetik serinin (tüm terimlerin toplamının) değeridir ve yukarıdaki \(S_n\) formülüyle hesaplanır.
