Aritmetik dizi nedir?
Aritmetik dizi, her terimin bir önceki terime sabit bir miktar eklenerek (ya da çıkarılarak) elde edildiği sayı listesidir. Bu sabit miktara ortak fark denir ve \(d\) ile gösterilir. İlk terim \(a_1\)'den başlanır ve sonraki her terim için \(d\) eklenir. Bu hesaplama aracı, yalnızca üç değer girerek n. terimi (\(a_n\)) ve ilk n terimin toplamını (\(S_n\)) anında bulmanızı sağlar.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
İlk terim \(a_1\) değerini, ortak fark \(d\) değerini (artan diziler için pozitif, azalan diziler için negatif) ve ulaşmak istediğiniz terim sırası \(n\) değerini girin. Hesapla düğmesine bastığınızda \(a_n\) teriminin değerini ve \(a_1\)'den \(a_n\)'e kadar olan tüm terimlerin toplamı \(S_n\)'i görürsünüz.
Formülün açıklaması
n. terim $$a_n = a_1 + (n - 1)d$$ formülüyle bulunur; çünkü ilk terimden sonra ortak farkı \((n - 1)\) kez eklersiniz. Kısmi toplam ise Gauss'un keşfettiği eşleştirme yöntemiyle hesaplanır: $$S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)$$ Bu, ilk ve son terimin ortalamasının terim sayısıyla çarpılmasından başka bir şey değildir.
Çözümlü örnek
Diyelim ki \(a_1 = 2\), \(d = 3\) ve \(n = 10\). 10. terim $$a_n = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$ olur. İlk 10 terimin toplamı ise $$S_n = \frac{10}{2} \times (2 + 29) = 5 \times 31 = 155$$ tir.
Farklı Senaryolarda Aritmetik Dizileri Karşılaştırma
Bir aritmetik dizinin iki temel çıktısı n. terim \(a_n = a_1 + (n-1)d\) ve kısmi toplam \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) şeklindedir. Aşağıdaki tablo bu formülleri, pozitif ortak fark, negatif (azalan) ortak fark ve kesirli adım dahil olmak üzere birkaç gerçekçi giriş kümesine uygular.
| İlk terim \(a_1\) | Ortak fark \(d\) | Terim sayısı \(n\) | n. terim \(a_n\) | Toplam \(S_n\) | Dizi önizlemesi |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 8 | 19 | 96 | 5, 7, 9, …, 19 |
| 10 | -3 | 6 | -5 | 15 | 10, 7, 4, …, -5 |
| 0 | 0.5 | 20 | 9.5 | 95 | 0, 0.5, 1, …, 9.5 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 | 100, 90, 80, …, 0 |
| 1 | 1 | 100 | 100 | 5050 | 1, 2, 3, …, 100 |
Negatif \(d\) değerinin nasıl azalan bir dizi ürettiğine ve toplamın, erken terimler onları dengeledikleri sürece, sonraki terimler negatif olsa da pozitif kalabildiğine dikkat edin.
Anahtar Terimler ve Değişkenler
- İlk terim \(a_1\)
- Dizinin başlangıç değeri — \(n = 1\) konumundaki değer. Diğer tüm terimler, ortak fark tekrar tekrar ona eklenerek oluşturulur.
- Ortak fark \(d\)
- Bir terimden bir sonrakine eklenen sabit miktar: \(d = a_{n} - a_{n-1}\). Pozitif \(d\) artan bir dizi, negatif \(d\) azalan bir dizi ve \(d = 0\) sabit bir dizi verir.
- n. terim \(a_n\)
- Konum \(n\) deki terimin değeri, aradaki tüm terimleri listelemeden doğrudan \(a_n = a_1 + (n-1)d\) ile bulunur.
- Kısmi toplam \(S_n\)
- İlk \(n\) terimin toplamı, \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\). İlk ve son terimleri eşleştirir ve çift sayısı ile çarpar.
- Terim konumu \(n\)
- İstediğiniz terimin hangisi olduğunu gösteren pozitif bir tam sayı dizini (1., 2., 3., …). Ayrıca \(S_n\) cinsinden toplanmakta olan terim sayısına da eşittir.
- Aritmetik dizi ve seri
- Dizi terimlerden oluşan sıralı liste (5, 7, 9, …) iken; seri bu terimleri bir araya getirdiğinizde elde ettiğiniz şeydir. \(a_n\) diziyi tanımlarken, \(S_n\) ilgili sonlu serinin değeridir.
Elle Hesaplama Yöntemi
Üç giriş \(a_1\), \(d\) ve \(n\) den n. terimi ve toplamı bulmak için bu prosedürü kullanın. \(a_1 = 5\), \(d = 2\), \(n = 8\) örneğini her adımda götüreceğiz.
- \(a_1\), \(d\) ve \(n\) değerlerini tanımlayın. İlk terimi, terimler arasındaki sabit adımı ve ihtiyacınız olan konumu okuyun. Burada \(a_1 = 5\), \(d = 2\) ve \(n = 8\) dir.
- n. terimi hesaplayın. \(a_n = a_1 + (n-1)d\) formülüne değerleri yazın:
\(a_8 = 5 + (8 - 1)\times 2 = 5 + 7\times 2 = 5 + 14 = 19\). - Kısmi toplamı hesaplayın. \(a_1\), \(a_n\) ve \(n\) değerlerini \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) formülüne yazın:
\(S_8 = \frac{8}{2}(5 + 19) = 4 \times 24 = 96\). - Sonucu kontrol edin. Terimleri listelemek 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 sonucunu verir — son değer \(a_8 = 19\) ve toplamları 96 şeklindedir ve bu da \(S_8\) değerini doğrular.
Yalnızca toplamı ihtiyaç duyuyorsanız ve \(a_1\) ve \(d\) den çalışmayı tercih ediyorsanız, birleştirilmiş form \(S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)\) aynı cevabı bir satırda verir: \(S_8 = \frac{8}{2}(2\times 5 + 7\times 2) = 4(10 + 14) = 96\).
Sıkça sorulan sorular
d negatif olabilir mi? Evet. Negatif bir ortak fark azalan bir dizi oluşturur ve formüller yine birebir geçerlidir.
S_n neyi ifade eder? \(a_1\)'den \(a_n\)'e kadar (\(a_n\) dahil) tüm terimlerin toplamıdır; yani sonsuz bir seri değil, kısmi (sonlu) bir toplamdır.
n = 1 olursa ne olur? Bu durumda tek bir terim olduğundan \(a_n = a_1\) ve \(S_n = a_1\) olur.
