Binom katsayısı nedir?
C(n, k) şeklinde yazılan ve "n'in k'li kombinasyonu" diye okunan binom katsayısı, n farklı öğeden oluşan bir kümeden, sıralamanın önemli olmadığı durumda k öğeyi seçmenin kaç farklı yolu olduğunu sayar. Kombinatorik ve olasılığın en temel kavramlarından biridir; Pascal üçgeninde, binom teoreminde ve sayısız sayma probleminde karşımıza çıkar.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Toplam öğe sayısı n ile seçmek istediğiniz öğe sayısı k değerlerini girin. Araç, olası kombinasyon sayısını tam olarak hesaplar. Eğer k değeri n'den büyükse sonuç 0 olur; çünkü var olandan daha fazla öğe seçemezsiniz.
Formülün açıklaması
Klasik tanım şöyledir:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,\left(n - k\right)!}$$
Faktöriyeller son derece hızlı büyüdüğü için bu araç, eşdeğer çarpımsal biçimi kullanır: i = 1…min(k, n−k) için (n−k+i)/i ifadelerini çarpar. Böylece ara değerler küçük kalır, taşma (overflow) önlenir ve aynı tam sayı sonucuna ulaşılır.
Örnek çözüm
5 kartlık bir desteden 2 kartlık kaç farklı el oluşturulabilir? $$C(5, 2) = \frac{5!}{2!\cdot 3!} = \frac{120}{2\cdot 6} = \frac{120}{12} = 10$$ şeklinde hesaplanır. Yani toplam 10 olası ikili vardır.
Pascal Üçgeni Referansı (Küçük n için C(n,k))
Tablodaki her giriş binom katsayısı \(\binom{n}{k}\) olup, her satır \(n\) için \(k = 0, 1, \dots, n\) değerlerini listeleyecek şekilde düzenlenmiştir. Bu, her iç girişin kendisinin üstündeki iki girişin toplamına eşit olduğu Pascal üçgenini
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Örneğin, \(\binom{10}{3} = \) 120, satır 10, sütun \(k=3\) konumunda bulunur. Satır \(n\) içindeki her girişin toplamı \(2^n\) olur (örneğin satır 4: \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)).
Daha Fazla Çalışılmış Örnek
\(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) formülünü uygulayan aşağıdaki örnekler, çarpımsal kısayol olan \(\binom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\) kullanır; böylece büyük faktoryeller herhangi bir büyük çarpma yapılmadan önce iptal olur.
Örnek 1: \(\binom{10}{3}\) — 10 adetten 3 tanesini seçme
\(10!\) üzerinde sadece 3 adet düşen faktörü tutun ve \(3!\) ile bölün:
$$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$$Bu nedenle 10 adet içinden sıra önemli olmadığında 3 öğe seçmenin 120 yolu vardır.
Örnek 2: \(\binom{6}{6}\) — hepsi seçme
Tüm mevcut öğeleri seçmek tam olarak bir şekilde yapılabilir. \(k = n\) olduğunda, \((n-k)!\) terimi \(0! = 1\) olur:
$$\binom{6}{6} = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{720}{720 \cdot 1} = 1$$Bu, \(\binom{n}{n} = \binom{n}{0} = \) 1 özdeşliğini doğrular.
Örnek 3: \(\binom{49}{6}\) — 49'dan 6'lık piyango
49'luk bir havuzdan 6 numaralı farklı sırasız biletlerin sayısı, altı adet en büyük düşen faktörlü çarpımsal kısayol kullanır:
$$\binom{49}{6} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!}$$Pay \(49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = 10{,}068{,}347{,}520\) ve payda \(6! = 720\):
$$\binom{49}{6} = \frac{10{,}068{,}347{,}520}{720} = 13{,}983{,}816$$Bu nedenle tek bir bilet, altı sayının tümünü eşleştirme şansının 1'e 13,983,816 olur. Bunun yerine sıralı çekiliş istemiş olsaydınız, permütasyon \(P(49,6) = \binom{49}{6}\cdot 6!\) kullanırdınız — ancak tipik bir piyangoda sadece kombinasyon önemlidir.
Sıkça Sorulan Sorular
C(n, 0) kaçtır? Her zaman 1'dir — hiçbir şey seçmemenin tek bir yolu vardır.
C(n, k) ile C(n, n−k) aynı mıdır? Evet, binom katsayısı simetriktir: tutmak için k öğe seçmek, dışarıda bırakmak için n−k öğe seçmekle aynıdır.
Kombinasyon ile permütasyon arasındaki fark nedir? Kombinasyonda sıralama önemsizdir; permütasyonda ise sıralama dikkate alınır. Permütasyon sayısı \(C(n, k) \times k!\) ile bulunur.
