角平分線定理計算器

線段 DC	1
比例 BD : DC = AB : AC	5

什麼是角平分線定理？

角平分線定理是歐幾里得幾何中的經典結論。在三角形 ABC 中，若 A 角的平分線交對邊 BC 於 D 點，便會把這條邊切成 BD 與 DC 兩段，而這兩段的長度恰好與構成該角的兩條鄰邊成比例。以公式表示就是 $\frac{BD}{DC} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}$。只要你知道三個相關邊長，這個計算器就能算出每一段的確切長度。

三角形 ABC，從頂點 A 引出的角平分線在點 D 處與邊 BC 相交 — 從 A 引出的角平分線將對邊 BC 分成 BD 和 DC 兩段。

如何使用本計算器

請輸入鄰近頂點 B 的邊 AB、鄰近頂點 C 的邊 AC，以及被分割的對邊 BC 的完整長度。計算器會回傳 BD 段（從 B 到平分線交點 D）的長度、DC 段（從 D 到 C）的長度，以及 AB:AC 的比例。BD 與 DC 兩段相加，永遠等於 BC。

公式解析

由於平分線是依鄰邊比例來分割 BC，因此可得

$$BD = \text{BC} \cdot \frac{\text{AB}}{\text{AB} + \text{AC}} \qquad DC = \text{BC} \cdot \frac{\text{AC}}{\text{AB} + \text{AC}}$$

這兩個式子是直接由比例 $\frac{BD}{DC} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}$ 搭配 $BD + DC = BC$ 推導而來。值得注意的是，計算時並不需要平分線本身的長度——決定比例的只有兩條鄰邊。

比例示意圖，顯示 BD 比 DC 等於 AB 比 AC — 定理：BD/DC 等於 AB/AC。

範例演算

假設 $AB = 8$、$AC = 4$、$BC = 9$。兩鄰邊之和 $AB + AC = 12$。則

$$BD = \frac{9 \times 8}{12} = 6 \qquad DC = \frac{9 \times 4}{12} = 3$$

驗算：$6 + 3 = 9 = BC$，且比例 $6:3 = 2:1$，正好與 $AB:AC = 8:4 = 2:1$ 吻合。角平分線會在靠近較短鄰邊的那一側切分對邊。

跨不同三角形的線段分割

角平分線定理將對邊 $BC$ 分成兩部分：$BD$ 和 $DC$，其長度的比例遵循兩條相鄰邊 $AB:AC$ 的比例。當兩條相鄰邊相等時，平分線恰好落在中點；邊的差異越大，足部 $D$ 越被推向較短邊。下表列舉了三個代表性案例。

情況	AB	AC	BC	BD	DC	AB : AC
均衡（等腰）	6	6	10	5	5	1 : 1
中等	8	4	9	6	3	2 : 1
傾斜	10	2	6	5	1	5 : 1

對於中等情況的推導驗證：當 $AB = 8$、$AC = 4$、$BC = 9$ 時，

$$BD = BC \cdot \frac{AB}{AB + AC} = 9 \cdot \frac{8}{8 + 4} = 9 \cdot \frac{8}{12} = 6,$$ $$DC = BC \cdot \frac{AC}{AB + AC} = 9 \cdot \frac{4}{12} = 3.$$

兩條線段相加回原值：$BD + DC = 6 + 3 = 9 = BC$，且比例 $BD:DC = 6:3 = 2:1$ 與 $AB:AC = 8:4 = 2:1$ 相符，證實了該定理。

關鍵術語與變數

三角形 ABC — 三個頂點標記為 $A$、$B$ 和 $C$ 的三角形。本工具中的平分線從頂點 $A$ 繪製到對邊 $BC$。
頂點 A — 角平分線被繪製的角。在 $A$ 處的內角（角 $\angle BAC$）是被分成兩個相等部分的角。
角平分線 — 將一個角分成兩個相等角的直線或線段。從 $A$ 出發的平分線將 $\angle BAC$ 分成兩個等量角。
點 D（平分線的足點） — 從 $A$ 出發的平分線與對邊 $BC$ 相交的點。對於內部平分線，它位於 $B$ 和 $C$ 之間。
線段 BD — 邊 $BC$ 從頂點 $B$ 到足點 $D$ 的部分。它與相鄰邊 $AB$ 成比例。
線段 DC — 邊 $BC$ 從足點 $D$ 到頂點 $C$ 的部分。它與相鄰邊 $AC$ 成比例。一起，$BD + DC = BC$。
AB : AC 比例 — 與頂點 $A$ 相鄰的兩條邊的比例。角平分線定理指出 $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$，因此此比例直接控制 $BC$ 如何被分割。
內部與外部平分線 — 內部平分線分割內角並在 $B$ 和 $C$ 之間與 $BC$ 相交（本文處理的情況）。外部平分線分割補充外角，並在線段外與線 $BC$ 相交，以相同的比例 $AB:AC$ 進行外分。