什麼是反正弦計算機？
反正弦（也寫成 sin⁻¹ 或 asin）是正弦函數的反函數。在直角三角形中，某個角的正弦值等於對邊長度除以斜邊長度。這個計算機則反過來運作：只要給定對邊與斜邊，就能算出能產生該比值的角度 \(\theta\)。計算結果會同時以「度」與「弧度」兩種單位呈現。
使用方式
輸入該角所對的對邊長度，以及斜邊長度（直角三角形中最長的一邊）。按下計算，即可讀取角度。斜邊的長度至少要等於對邊，這樣比值才會落在 −1 到 1 之間，也就是反正弦的有效定義域。若你輸入的對邊比斜邊還長，比值會被限制在 ±1（對應 90° 或 −90°）。
公式說明
核心算式為 $$\theta = \arcsin\left(\frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}}\right)$$系統會先算出比值，再透過反正弦求出一個介於 \(-\pi/2\) 與 \(\pi/2\) 之間的弧度角。接著乘以 \(\frac{180}{\pi}\) 即可換算成度數。由於反正弦只在輸入值落於 \([-1, 1]\) 時才有定義，本工具會自動防範超出範圍的比值。
範例演算
假設對邊為 3、斜邊為 5，則比值為 \(3 \div 5 = 0.6\)。接著 $$\theta = \arcsin(0.6) \approx 0.6435 \text{ 弧度} \approx 36.87°$$這正是經典的 3-4-5 直角三角形，面對長度為 3 那一邊的角度約為 36.87°。
常见反正弦值
反正弦函数接受一个介于 \(-1\) 和 \(1\) 之间的比值（对边除以斜边），并返回其正弦值等于该比值的角度。由于斜边总是直角三角形中最长的边，实数角的比值 \(\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}\) 永远不会超过 1。下表列出了常见的正弦比值及其对应的角度，分别用度数和弧度表示。
| 正弦比值（对边 ÷ 斜边） | 角度（度数） | 角度（弧度） |
|---|---|---|
| 0 | 0° | 0 |
| 0.5 | 30° | \(\pi/6 \approx 0.5236\) |
| 0.6 | 36.87° | \(\approx 0.6435\) |
| 0.707 (≈ \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)) | 45° | \(\pi/4 \approx 0.7854\) |
| 0.866 (≈ \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)) | 60° | \(\pi/3 \approx 1.0472\) |
| 1 | 90° | \(\pi/2 \approx 1.5708\) |
要在度数和弧度之间转换任何这些角度，将度数乘以 \(\pi/180\)。例如，\(30° \times \pi/180 = \pi/6 \approx 0.5236\) 弧度。
关键术语
- 反正弦（sin⁻¹, asin）
- 正弦函数的反函数。给定比值 \(x\)，反正弦返回角度 \(\theta\)，使得 \(\sin\theta = x\)。它写作 \(\arcsin(x)\)、\(\sin^{-1}(x)\) 或 \(\operatorname{asin}(x)\)。注意 \(\sin^{-1}(x)\) 表示反函数，不是 \(1/\sin(x)\)。
- 对边
- 在直角三角形中，与关注角度直接对面的边。它是此计算器的两个输入之一，形成正弦比值的分子。
- 斜边
- 直角三角形的最长边，位于直角的对面。它作为正弦比值的分母，并且总是大于或等于对边。
- 正弦
- 三角函数比值，定义为对边的长度除以斜边：\(\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}\)。反正弦反转了这一关系。
- 弧度
- 基于圆的半径的角度单位。一个完整转圈等于 \(2\pi\) 弧度（约 6.2832），\(180° = \pi\) 弧度。弧度是微积分和大多数编程语言中的标准单位。
- 度数
- 角度单位，其中一个完整转圈等于 360°。直角是 90°。度数在日常几何、导航和测量中很常见。
- 反正弦的定义域和值域
- 反正弦的定义域（允许的输入）是 \([-1, 1]\)；超出此范围的比值没有实数值的角度。值域（可能的输出）是 \([-90°, 90°]\) 或 \([-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]\) 弧度，这是计算器返回的主值分支。
常見問題
為什麼比值一定要落在 −1 到 1 之間？任何角度的正弦值都不會超過 1，也不會低於 −1，因此它的反函數只能接受這個範圍內的值。
斜邊可以比對邊短嗎？在真實的直角三角形中不行——斜邊永遠是最長的一邊。若你輸入這樣的數值，比值會被限制在 ±1。
要如何在度與弧度之間切換？兩者都會自動顯示：度數是主要呈現的數值，弧度則列在明細表格中。
