二進位除法計算機

輸入計算

被除數（二進位）

除數（二進位）

結果

商（二進位）

101

remainder 1

被除數（十進位）	11
除數（十進位）	2
商（十進位）	5
餘數（十進位）	1

什麼是二進位除法計算機？

這個工具能將一個二進位（base-2）數除以另一個二進位數，並同時以二進位與十進位顯示商與餘數。由於用手算二進位長除法很容易出錯，計算機會先把你輸入的數字轉成十進位，進行整數除法，再把結果換算回二進位，省去繁瑣計算。

使用方式

在第一個欄位輸入被除數（要被除的那個數），在第二個欄位輸入除數，兩者都只能使用 0 和 1 這兩個數字。按下計算，即可看到商與餘數。除數不可以是零，因為除以零在數學上沒有定義。

公式說明

假設 \(A\) 與 \(B\) 是輸入的二進位數，計算機會先求出 \(A_{10} = \text{parseBinary}(A)\) 與 \(B_{10} = \text{parseBinary}(B)\)。整數商為 $$Q = \left\lfloor \frac{A_{10}}{B_{10}} \right\rfloor,$$ 餘數為 $$R = A_{10} \bmod B_{10}.$$ 接著再把 \(Q\) 與 \(R\) 換算回二進位。這正是電腦執行無號整數除法的運作方式。

二進位長除法將結果分為商和餘數。

實例演算

以 \(1100_2\) 除以 \(10_2\) 為例。換成十進位後，\(1100_2 = 12\)，\(10_2 = 2\)。於是 $$12 \div 2 = 6 \;\text{R}\; 0.$$ 再換算回二進位：\(6 = 110_2\)，\(0 = 0_2\)。所以 $$1100 \div 10 = 110 \;\text{R}\; 0.$$

每一步進行比較、相減並落下下一位。

如何手工進行二進位數字除法

二進位長除法的運作方式完全相同於十進位長除法，但實際上更簡單：在每一步，除數要麼恰好整除當前位元（寫下1），要麼不能（寫下0）。沒有乘法表需要記憶——你只需將除數乘以 0 或 1。

計算 \(\text{被除數}_2 \div \text{除數}_2 = Q \;\text{R}\; R\) 的一般程序為：

1. 從最高有效位對齊。從被除數最左邊的位元開始作為目前的工作值。
2. 比較目前的工作值與除數。如果工作值大於或等於除數，則除數「能整除」。
3. 寫下商的位元。如果能整除則在上方寫 1，否則寫 0。
4. 相減。如果你寫了 1，從工作值減去除數；差值成為新的工作值。如果你寫了 0，工作值保持不變。
5. 將被除數的下一位移下來並附加到工作值。
6. 重複步驟 2–5，直到被除數的每一位都被移下來為止。
7. 讀出結果。上方收集的位元構成商 \(Q\)；剩下的工作值就是餘數 \(R\)。

已解決的例子：\(1011_2 \div 10_2\)（即十進位中的 11 ÷ 2）。

1. 移下第一位：工作值 = 1。 \(1 \ge 10\)？否 → 商位元 0。
2. 移下下一位：工作值 = 10。 \(10 \ge 10\)？是 → 商位元 1，相減：\(10 - 10 = 0\)。
3. 移下下一位：工作值 = 01 = 1。 \(1 \ge 10\)？否 → 商位元 0。
4. 移下最後一位：工作值 = 11。 \(11 \ge 10\)？是 → 商位元 1，相減：\(11 - 10 = 1\)。
5. 無位元剩餘。商 = 0101 = 101，餘數 = 1。

十進位驗證：\(11 \div 2 = 5\) 餘 \(1\)，且 \(101_2 = 5\)、\(1_2 = 1\)。 ✓

更多二進位除法例子

每個例子都展示了二進位長除法及其十進位驗證，其中關係始終為 \(\text{被除數} = \text{除數}\times Q + R\)。

例子 1 — 非零餘數：\(1011_2 \div 10_2\)

1. 十進位等值：\(1011_2 = 11\)、\(10_2 = 2\)。
2. 長除法得出商位元 101 和剩餘位元 1。
3. 結果：\(1011_2 \div 10_2 = 101_2 \;\text{R}\; 1_2\) → 十進位中 \(11 \div 2 = 5\;\text{R}\;1\)。
4. 驗證：\(2 \times 5 + 1 = 11\)。 ✓

例子 2 — 除數大於被除數：\(100_2 \div 1000_2\)

1. 十進位等值：\(100_2 = 4\)、\(1000_2 = 8\)。
2. 因為除數（8）大於被除數（4），它永遠不能整除，所以每個商位元都是 0。
3. 結果：\(100_2 \div 1000_2 = 0 \;\text{R}\; 100_2\) → 十進位中 \(4 \div 8 = 0\;\text{R}\;4\)。
4. 驗證：\(8 \times 0 + 4 = 4\)。 ✓ 當被除數小於除數時，商始終為 0，餘數就是被除數本身。

例子 3 — 整除及驗證：\(11110_2 \div 110_2\)

1. 十進位等值：\(11110_2 = 30\)、\(110_2 = 6\)。
2. 移下位元直到到達 110 → 能整除一次；繼續移下位元，每次都在能整除時進行相減。
3. 結果：\(11110_2 \div 110_2 = 101_2 \;\text{R}\; 0\) → 十進位中 \(30 \div 6 = 5\;\text{R}\;0\)。
4. 驗證商：\(101_2 = 5\)，且檢查 \(6 \times 5 + 0 = 30\)。 ✓ 因為餘數為 0，所以除法是整除。

你可以使用二進位轉十進位轉換器確認任何這些轉換，並通過將商與除數相乘來確認最終驗證。

二進位除法中的關鍵術語

被除數

被除的數字——寫在除法括號下方的值。在 \(1011_2 \div 10_2\) 中，被除數是 \(1011_2\)。

除數

用來除的數字。在 \(1011_2 \div 10_2\) 中，除數是 \(10_2\)。除數不能為零。

商

除法的整數結果——除數能進入被除數的次數。寫在括號上方，每步一個位元。

餘數

移除最大整數商後剩下的量：\(R = \text{被除數} - \text{除數}\times Q\)。它總是小於除數。

二進位（二進制）

只使用數字 0 和 1 的數字系統，其中每個位置值是二的冪（\(1, 2, 4, 8, \dots\)）而不是十的冪。

位元

單個二進位數字（0 或 1）——「二進位數字」的簡稱。

LSB / MSB

最低有效位是最右邊的位元（1 的位置）；最高有效位是最左邊的位元（最高位置值）。二進位長除法從 MSB 向 LSB 處理位元。

整數除法 / 向下取整

只保留整數商並捨棄任何小數部分的除法——正是二進位長除法與其餘數一起產生的結果。

模運算

只返回除法餘數的運算（通常寫為 mod 或 %）。對於 \(1011_2 \div 10_2\)，模運算結果是 \(1_2\)。

常見問題

可以計算有小數的二進位數嗎？不行，這個計算機只處理無號的整數二進位數，並回傳整數商加上餘數。

如果除數比被除數大會怎樣？此時商為 0，餘數等於被除數。例如 \(10 \div 100\) 的結果是商為 0、餘數為 10。

為什麼也要顯示十進位？同時看到十進位的對應值，能方便你驗算結果，也更容易理解進位轉換的過程。