什麼是二項式係數？
二項式係數寫作 \(C(n, k)\)，常讀作「n 取 k」，用來計算在不考慮先後順序的情況下，從 \(n\) 個物件中選出 \(k\) 個共有多少種不同的選法。它是組合數學中最基礎的量之一，在機率、統計與代數中隨處可見——包括二項式定理、巴斯卡三角形（楊輝三角）以及二項分布。
計算機使用說明
輸入物件總數 n 與想要選取的數量 k，即可直接得到結果。本工具要求 \(n\) 與 \(k\) 皆為整數，且滿足 \(0 \le k \le n\)。若 \(k\) 大於 \(n\)，係數為 0，因為你不可能選出比實際存在還多的物件。
公式詳解
其定義公式為 $$C(n, k) = \frac{n!}{k!\left(n - k\right)!}$$ 其中「!」代表階乘。為了避免在計算過程中產生過於龐大的階乘中間值，本計算機採用較有效率的連乘形式：將 \((n - k + 1)\) 一路乘到 \(n\)，再依序除以 1 到 \(k\)；同時利用對稱性 \(C(n, k) = C(n, n - k)\) 縮短迴圈、加快運算。
實例演算
從一副 10 張牌中可以組成多少種 3 張牌的組合？$$C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = \mathbf{120}$$ 因此共有 120 種不同的組合。
帕斯卡三角形參考表
帕斯卡三角形中的每一項都是二項係數 \(\binom{n}{k}\)。第 \(n\) 行列出從左邊 \(k=0\) 到右邊 \(k=n\) 的值。每個內部值等於其正上方兩個值的和，因此 \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\)。下面的行涵蓋 \(n=0\) 到 \(n=10\)，讓您可以直接讀出小係數。
| n | k=0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
注意對稱性：每一行向前向後讀法相同，因為 \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)。第 \(n\) 行的所有項的和等於 \(2^{n}\) — 例如，第 10 行的和為 \(2^{10}=1024\)。
更多已解決的示例
這些示例展示了完整代入 \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)，以便易於驗證每個結果。
示例 1 — 撲克牌手：C(52,5)
從 52 張牌的牌組中可以發多少種不同的 5 張牌手？順序不重要，因此我們使用二項係數。
$$\binom{52}{5}=\frac{52!}{5!\,(52-5)!}=\frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1}=\frac{311{,}875{,}200}{120}$$
這給出 2,598,960 種可能的 5 張牌撲克手。
示例 2 — 邊界情況 C(6,6)
從 6 個項目的集合中選擇全部 6 個項目可以用完全一種方式完成 — 保留所有內容。代入 \(k=n=6\)：
$$\binom{6}{6}=\frac{6!}{6!\,(6-6)!}=\frac{6!}{6!\cdot 0!}=\frac{720}{720\times 1}=1$$
這依賴於慣例 \(0!=1\)。相同的邏輯給出 \(\binom{n}{0}=1\) 對於任何 \(n\)：恰好有一種方式選擇空集。因此 1。
示例 3 — 對稱性：C(8,2) = C(8,6)
恆等式 \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) 意味著選擇 \(k\) 個項目包括等價於選擇要遺漏的 \(n-k\) 個項目。為 \(n=8\) 計算兩邊：
$$\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!\,6!}=\frac{8\times7}{2\times1}=\frac{56}{2}=28$$
$$\binom{8}{6}=\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2\times1}=28$$
兩者都等於 28，確認了對稱性性質。從 8 個中選擇 2 個保留的計數與選擇要捨棄的 6 個的計數相同。
常見問題
順序有影響嗎？沒有。若要計算有順序的選法（排列），請改用 \(\frac{n!}{(n-k)!}\)。
\(C(n, 0)\) 是多少？永遠是 1——「什麼都不選」這件事只有一種方式。
如果 \(k > n\) 會怎樣？結果為 0；你無法選出比現有數量更多的物件。
